【ヘロンの公式】面積の計算方法と公式の使い方【証明方法も解説】

ヘロンの公式

三角形ABC

三角形ABCの辺の長さをa, b, cとすると、面積Sは下記の式で表すことができる。

\begin{eqnarray}
S &=& \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\
ここで、s &=& \displaystyle \frac{a+b+c}{2}
\end{eqnarray}

ヘロンの公式は、三角形の3辺の長さから、その三角形の面積を求める公式です。

本来の三角形の面積の公式は、

(面積)\(=\displaystyle \frac{1}{2}\times\)(底辺)\(\times\)(高さ)

なので、底辺と高さを求める必要があります。

しかし、ヘロンの公式であれば3辺の長さから面積を計算できるので、非常に便利です。

一方で、ヘロンの公式を見てもらうと分かるのですが、辺の長さにルートなどの無理数(\(\sqrt{3}\)など)があると使えません。

例えば、3辺の長さがそれぞれ、\(\sqrt{3}, \ 4,\ 5\)だとすると、ヘロンの公式にある\(s\)が下記の通り、複雑になります。

$$s=\displaystyle \frac{a+b+c}{2}=\displaystyle \frac{\sqrt{3}+4+5}{2}$$

今回は、そんなメリットもデメリットもあるヘロンの公式の解説です。

この記事で分かること!

  • ヘロンの公式の計算方法と使い方
  • ヘロンの公式の証明方法
  • 辺の長さにルートがある場合のヘロンの公式の使い方
トムソン
トムソン

ヘロンの公式の使い方と証明は、三角比のゴールのようなイメージです。三角比の公式や図の見方を分かっていないと証明できないからです!頑張ってマスターしましょうー!

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ヘロンの公式の計算方法

ヘロンの公式の計算は2STEPで完了します。

ヘロンの公式計算2STEP

  1. \(s=\displaystyle \frac{a+b+c}{2}\)を計算する。
  2. \(S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)を計算する

以上です。

では例題を解きながら、ヘロンの公式を理解していきましょう。

例題1|ヘロンの公式基礎

3辺の長さが\(4,\ 5,\ 7\)の三角形の面積を求めよ。

例題1|解答と解説

STEP1: \(s\)を求めます。

\begin{eqnarray} s &=& \displaystyle \frac{a+b+c}{2} \\
&=& \displaystyle \frac{4+5+7}{2}\\
&=&8 \end{eqnarray}

STEP2: \(s\)を使って\(S\)を計算します。

\begin{eqnarray} S&=&\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\
&=&\sqrt{8(8-4)(8-5)(8-7)} \\
&=&\sqrt{ 96}\\
&=&4\sqrt{6} \end{eqnarray}

以上より、答えは\(4\sqrt{6}\)となります。

このように3辺の数字が簡単であれば難しい計算はありません。

ヘロンの公式証明

では、ヘロンの公式の証明です。

この記事では証明のみの解説になるので、証明に必要な三角形の面積の公式余弦定理の解説は書いていません。

その辺りの詳細な解説も知りたい方は、こちらの記事を読んでください!

 

ヘロンの公式証明の計算

三角比の相互関係の(1)より、

$$\sin^2 C+\cos^2 C=1$$

を使うと面積の公式を以下のように変形することができる。

$$\sin C=\sqrt{1-\cos ^2 C}$$

より、

\begin{eqnarray}
S &=& \displaystyle \frac{1}{2}ab\sin C \\
&=& \displaystyle \frac{1}{2}ab\sqrt{1-\cos ^2 C} \end{eqnarray}

また、余弦定理より、

$$\cos C=\displaystyle \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$

なので、面積Sの式は下記のように変形できる。

$$S=\displaystyle \frac{1}{2}ab\sqrt{1- \left( \displaystyle \frac{a^2+b^2-c^2}{2bc}\right)^2}$$

ここから、因数分解と展開を駆使して、式を整理していく。

\begin{eqnarray} S&=&\displaystyle \frac{1}{2}ab\sqrt{1- \left( \displaystyle \frac{a^2+b^2-c^2}{2bc}\right)^2}\\
&=& \displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2}\cdots(1)\\
& &(x^2-y^2)=(x+y)(x-y)より、\\
&=& \displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)}\\
&=& \displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{\{(a+b)^2-c^2\}\{-(a-b)^2+c^2)\}}\\
&=& \displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(c-a+b)(c+a-b)}\\
&=& \displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}\\
&=& \sqrt{\displaystyle \frac{a+b+c}{2}\displaystyle \frac{-a+b+c}{2}\displaystyle \frac{a-b+c}{2}\displaystyle \frac{a+b-c}{2}}\\
&=&\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\
ただし、s&=&\displaystyle \frac{a+b+c}{2}
\end{eqnarray}

となる。

トムソン
トムソン

余弦定理ってなんだっけ??って場合も安心してください!リンクを参考にしてもらうと、復習できますよ!

ヘロンの定理|辺の長さがルートの場合

冒頭で説明しましたが、辺の長さにルートがあると、\(s\)が汚くなるのでヘロンの公式が使えません。

その場合はどうするかの解説をしていきたいと思います!

2種類の方法があるので、順番に解説していきます。

ルートがある場合のヘロンの公式計算方法

  1. 証明途中にある(1)の式を使って計算する
  2. 3辺から角度を求めて三角形の面積の公式を使う

2番はヘロンの公式を使わない、という選択肢になります。

面積が求められればなんでも良いので、個人的には2番がお勧めです。

では、例題を使って理解していきましょう。

例題2|ルートがある場合のヘロンの公式

3辺の長さが\(\sqrt{3},\ \sqrt{5},\ 2\)の三角形の面積を求めよ。

例題2|解答と解説

ヘロンの公式をそのまま使うと、\(s\)が汚くなってしまい、計算ができません。

そこで、証明中の式である

$$S=\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2}\cdots(1)$$

を使います。

この式であれば、辺の長さ全てに2乗がついているので、ルートを無視して計算できます。

\begin{eqnarray} S &=& \displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{(2\sqrt{15})^2-(3+5-4)^2}\\
&=& \displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{60-16}\\
&=&\displaystyle \frac{1}{4}\times2\sqrt{11}\\
&=&\displaystyle \frac{\sqrt{11}}{2} \end{eqnarray}

よって、面積は\(\displaystyle \frac{\sqrt{11}}{2}\)となります。

例題2別解|ヘロンの公式を使わない場合

次はヘロンの公式を使わない場合の方法です。

三角形の面積をSとすると、

$$S=\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin C$$

で表すことができます。

この式を使って面積を求めます。

\(a=\sqrt{3},\ b=\sqrt{5},\ c=2\)とする。

余弦定理の変形版を使って\(\sin C\)を求める。

\begin{eqnarray} \cos C &=& \displaystyle \frac{b^2+a^2-c^2}{2ab}\\
&=& \displaystyle \frac{5+3-4}{2\sqrt{15}} \\
&=& \displaystyle \frac{2\sqrt{15}}{15} \end{eqnarray}

また、\(\sin^2 C+\cos^2 C=1\)より、

\begin{eqnarray} \sin C &=& \sqrt{1-\displaystyle \frac{4\times15}{15^2}} \\
&=& \sqrt{1-\displaystyle \frac{4}{15}}\\
&=&\sqrt{\displaystyle \frac{11}{15}} \end{eqnarray}

最後に面積の式に\(a,\ b,\ \sin C\)を代入します。

\begin{eqnarray} S &=& \displaystyle \frac{1}{2}ab\sin C \\
&=& \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{15} \sqrt{\displaystyle \frac{11}{15}}\\
&=&\displaystyle \frac{\sqrt{11}}{2}\end{eqnarray}

トムソン
トムソン

別解もヘロンの公式も、実はやっていることは同じです。個人的には別解の方がおすすめ!ただ、辺の長さに無理数がないときはヘロンの公式の方が簡単に解けるので、使い分けをするのが良いでしょう!

ヘロンの公式|まとめ

  • ヘロンの公式は3辺から三角形の面積を計算できる公式
  • 三角形の面積の公式と余弦定理などを使って証明ができます
  • 辺の長さに無理数がある場合は、証明の途中の式を使うか、ヘロンの公式を諦めて面積を求めましょう!
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