【積和の公式】導出と覚え方｜テスト中でも思い出せる【工学博士監修】

積和の公式とは

三角関数の\(\sin A\), \(\cos B\)の積を和に直す公式

\begin{eqnarray}
\sin A\cos B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}&\cdots(1)& \\
\cos A\sin B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\sin(A+B)-\sin(A-B)\}&\cdots(2)&\\
\cos A\cos B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}&\cdots(3)&\\
\sin A\sin B &=&- &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\cos(A+B)-\cos(A-B)\}&\cdots(4)&
\end{eqnarray}

積和の公式の語呂合わせ

\begin{eqnarray}
\sin A\cos B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}&\cdots(1)& \\
\cos A\sin B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\sin(A+B)-\sin(A-B)\}&\cdots(2)&\\
\cos A\cos B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}&\cdots(3)&\\
\sin A\sin B &=&- &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\cos(A+B)-\cos(A-B)\}&\cdots(4)&
\end{eqnarray}

\((1)\)雑魚は半分、さっさと倒す

\(\sin A\cos B =\)で『雑魚は』

\(\displaystyle \frac{1}{2}\)が『半分』

\(\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}\)が『さっさ』

ですね。

『雑魚は』『半分』『さっさ』と倒す

トムソン

雑魚をたくさん釣って捌いてる最中でしょうか？

\((2)\)コスモス咲いた、半分…咲い…咲い…た？

\(\cos A\sin B\)で『コスモス咲いた』

\(\displaystyle \frac{1}{2}\)が『半分』

\({\sin(A+B)+\sin(A-B)}\)が『咲い…咲い…』

『コスモス咲いた』『半分』『咲い…咲い…』た

トムソン

冬にコスモス園に来たけど、半分も咲いてなかったんでしょうかね？

\((3)\)ここは半分ごっこ

\(\cos A\cos B=\)で『ここは』

\(\displaystyle \frac{1}{2}\)で『半分』

\(\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}\)で『ごっこ』

『ここは』『半分』『ごっこ』

トムソン

いつもは半分ごっこではないのでしょうか・・・

\((4)\)歳々（さいさい）は毎晩ココ

\(\sin A\sin B=\)で『歳々（さいさい）は』

\(-\displaystyle \frac{1}{2}\)で『毎（マイナス）晩（半）』

\(\{\cos(A+B)-\cos(A-B)\}\)『ここ』

『歳々（さいさい）は』『毎晩』『ここ』

トムソン

歳々（さいさい）ってなんでしょうね？

積和の公式とは

三角関数の\(\sin A\), \(\cos B\)の積を和に直す公式

\begin{eqnarray}
\sin A\cos B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}&\cdots(1)& \\
\cos A\sin B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\sin(A+B)-\sin(A-B)\}&\cdots(2)&\\
\cos A\cos B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}&\cdots(3)&\\
\sin A\sin B &=&- &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\cos(A+B)-\cos(A-B)\}&\cdots(4)&
\end{eqnarray}