【積和の公式】導出と覚え方|テスト中でも思い出せる【工学博士監修】

積和の公式とは

三角関数の\(\sin A\), \(\cos B\)の積を和に直す公式

\begin{eqnarray}
\sin A\cos B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}&\cdots(1)& \\
\cos A\sin B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\sin(A+B)-\sin(A-B)\}&\cdots(2)&\\
\cos A\cos B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}&\cdots(3)&\\
\sin A\sin B &=&- &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\cos(A+B)-\cos(A-B)\}&\cdots(4)&
\end{eqnarray}

今回はこの積和の公式を加法定理を使って導出していきます。

最後には覚え方も紹介していますので、どうぞ最後までご覧ください!

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サインとコサインの積を導出する

まずは積和の公式の\((1)\)と\((2)\)を導出していきます!

\begin{eqnarray}
\sin A\cos B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&{\sin(A+B)+\sin(A-B)}&\cdots(1)& \\
\cos A\sin B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&{\sin(A+B)-\sin(A-B)}&\cdots(2)&
\end{eqnarray}

\(\sin A\cos B = \displaystyle \frac{1}{2} \{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}\)の導出

\(\sin\)の加法定理より、

\begin{eqnarray}
\sin (A+B) &=& \sin A\cos B+\cos A\sin B \cdots(a)\\
\sin (A-B) &=& \sin A\cos B-\cos A\sin B\cdots(b)
\end{eqnarray}

\((a)+(b)\) より

\begin{eqnarray}
\sin (A+B)+\sin (A-B)&=&2\sin A\cos B
\end{eqnarray}

両辺を\(2\)で割ると、

$$\sin A\cos B = \displaystyle \frac{1}{2}\{\sin (A+B)+\sin (A-B)\}$$

以上より、\((1)\)式を導出できた。

次は\((2)\)式です。

\(\cos A\sin B = \displaystyle \frac{1}{2} \{\sin(A+B)-\sin(A-B)\}\)の導出

積和の公式\((1)\)より、

$$\sin A\cos B = \displaystyle \frac{1}{2}\{\sin (A+B)+\sin (A-B)\}$$

ここで、\(A=B’,\ B=A’\)とする。

\begin{eqnarray}
\sin B’\cos A’ &=& \displaystyle \frac{1}{2}\{\sin (B’+A’)+\sin (B’-A’)\}\\
\cos A’\sin B’ &=& \displaystyle \frac{1}{2}\{\sin (A’+B’)+\sin (-A’+B’)\}
\end{eqnarray}

\(\sin (-x)=-\sin x\)の公式より

\begin{eqnarray}
\cos A’\sin B’ &=& \displaystyle \frac{1}{2}\{\sin (A’+B’)-\sin (A’-B’)\}
\end{eqnarray}

以上より、\((2)\)式を導出できた。

トムソン
トムソン

積和の公式は4つあると解説されることが多いですが、サインとコサインの積である\(\sin A\cos B\)と\(\cos A\sin B\)は同じだと考えておきましょう!なので実質、公式は3つです。

残りの2つを導出していきます!

コサインとコサインの積を導出する

次は積和の公式の\((3)\)の導出です。

\(\cos A\cos B =\displaystyle \frac{1}{2}\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}\)の導出

\(\cos A\)の加法定理より、

\begin{eqnarray}
\cos (A+B) &=& \cos A\cos B-\sin A\sin B \cdots(c)\\
\cos (A-B) &=& \cos A\cos B+\sin A\sin B\cdots(d)
\end{eqnarray}

\((c)+(d)\)より、

\begin{eqnarray}
& &\cos(A+B)+\cos(A-B)=2\cos A\cos B\\
& &\cos A\cos B =\displaystyle \frac{1}{2}\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}
\end{eqnarray}

以上より、\((3)\)を導出できた。

最後は積和の公式\(4\)の導出です。

サインとサインの積を導出する

\(\sin A\sin B =-\displaystyle \frac{1}{2}\{\cos(A+B)-\cos(A-B)\}\)の導出

\(\cos A\)の加法定理より、

\begin{eqnarray}
\cos (A+B) &=& \cos A\cos B-\sin A\sin B \cdots(c)\\
\cos (A-B) &=& \cos A\cos B+\sin A\sin B\cdots(d)
\end{eqnarray}

\((d)-(c)\)より、

\begin{eqnarray}
& &-\cos(A+B)+\cos(A-B)=2\sin A\sin B\\
& &\sin A\sin B =-\displaystyle \frac{1}{2}\{\cos(A+B)-\cos(A-B)\}
\end{eqnarray}

以上より、\((4)\)を導出できた。

トムソン
トムソン

積和の公式を全て導出できました。ここからは積和の公式の覚え方です!

語呂合わせで覚える積和の公式

では1つずつ語呂合わせを紹介していきますね。

ちなみに私はテスト中でも加法定理から導出する方が簡単だと思っています。

しかし、語呂合わせで覚えると計算が早くなるメリットもあります。

正解はありません。

あなたが使いやすい方を使いましょう!

積和の公式の語呂合わせ

\begin{eqnarray}
\sin A\cos B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}&\cdots(1)& \\
\cos A\sin B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\sin(A+B)-\sin(A-B)\}&\cdots(2)&\\
\cos A\cos B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}&\cdots(3)&\\
\sin A\sin B &=&- &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\cos(A+B)-\cos(A-B)\}&\cdots(4)&
\end{eqnarray}

\((1)\)雑魚は半分、さっさと倒す

\(\sin A\cos B =\)で『雑魚は』

\(\displaystyle \frac{1}{2}\)が『半分』

\(\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}\)が『さっさ』

ですね。

『雑魚は』『半分』『さっさ』と倒す

トムソン
トムソン

雑魚をたくさん釣って捌いてる最中でしょうか?

\((2)\)コスモス咲いた、半分…咲い…咲い…た?

\(\cos A\sin B\)で『コスモス咲いた』

\(\displaystyle \frac{1}{2}\)が『半分』

\({\sin(A+B)+\sin(A-B)}\)が『咲い…咲い…』

『コスモス咲いた』『半分』『咲い…咲い…』た

トムソン
トムソン

冬にコスモス園に来たけど、半分も咲いてなかったんでしょうかね?

\((3)\)ここは半分ごっこ

\(\cos A\cos B=\)で『ここは』

\(\displaystyle \frac{1}{2}\)で『半分』

\(\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}\)で『ごっこ』

『ここは』『半分』『ごっこ』

トムソン
トムソン

いつもは半分ごっこではないのでしょうか・・・

\((4)\)歳々(さいさい)は毎晩ココ

\(\sin A\sin B=\)で『歳々(さいさい)は』

\(-\displaystyle \frac{1}{2}\)で『毎(マイナス)晩(半)』

\(\{\cos(A+B)-\cos(A-B)\}\)『ここ』

『歳々(さいさい)は』『毎晩』『ここ』

トムソン
トムソン

歳々(さいさい)ってなんでしょうね?

積和の法則まとめ

積和の公式について解説してきました。

積和の公式とは

三角関数の\(\sin A\), \(\cos B\)の積を和に直す公式

\begin{eqnarray}
\sin A\cos B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}&\cdots(1)& \\
\cos A\sin B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\sin(A+B)-\sin(A-B)\}&\cdots(2)&\\
\cos A\cos B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}&\cdots(3)&\\
\sin A\sin B &=&- &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\cos(A+B)-\cos(A-B)\}&\cdots(4)&
\end{eqnarray}

積和の公式には加法定理を使います。

加法定理を覚えていれば、導出自体は簡単です。

語呂合わせで覚える方法も紹介しましたので、ぜひご活用ください!

お気軽にコメントください! 質問でも、なんでもどうぞ!

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