今回は、sin 167° = 0.224951…を三角関数表を使わずに求める仕方について解き明かしていきます。
三角関数表の中のサイン(sin)の表に注目して、値の計算方法を明らかにしていきます。
サインの表とはこのような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| sin1° | 0.017452 | sin2° | 0.034899 |
| sin3° | 0.052335 | sin4° | 0.069756 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| sin30° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | sin45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| sin60° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | sin90° | 1 |
数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
このページでは、sin167°の計算方法紹介です。
$$\sin 167°=0.224951…$$
10桁のsin 167°を確認
まずは、sin 167°を10桁表してみましょう！$$\sin 167° = 0.2249510543 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
sin167°の値を求める
三角関数表を使用せずにsin167°の値を求める手法は大きく3つあります。
1の方法は、定規を使うため正確な値を求められず、答えは近似値になります。
2のやり方だと、途中の計算がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を説明します。
マクローリン展開でsin167°を求める
マクローリン展開より、下記の式で\(\sin x\)を解くことができます。
$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)が分かれば\(\sin x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開って何？って人だったとしても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 167°$$
この式を計算すると、
$弧度法=2.914699…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 167°\)を求められます。
$$\sin 167° = 0.224951…$$
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