この記事では、sin 192° = -0.207912…を三角関数表を使わずに求める処理方法について解き明かしていきます。
三角関数表の中のサイン(sin)の表に焦点を絞って、値の求め方を明らかにしていきます。
サインの表とは下記ののような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| sin1° | 0.017452 | sin2° | 0.034899 |
| sin3° | 0.052335 | sin4° | 0.069756 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| sin30° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | sin45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| sin60° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | sin90° | 1 |
教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
この記事では、sin192°の計算の仕方説明です。
$$\sin 192°=-0.207912…$$
10桁のsin 192°を書いてみる
早速ですが、sin 192°を10桁書いてみましょう！$$\sin 192° = -0.2079116909 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
sin192°の値を求める
三角関数表を確認せずにsin192°の値を計算する手法はとても複雑なものを除けば3つあります。
1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、出てくる値は近似値になります。
2の方法だと、導出過程がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を解説します。
マクローリン展開でsin192°を求める
マクローリン展開によって、下記の式で\(\sin x\)を計算することができます。
$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)から\(\sin x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 192°$$
この式を計算すると、
$弧度法=3.351032…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 192°\)を求められます。
$$\sin 192° = -0.207912…$$
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