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三角関数表のサインの表におけるsin224°の導出

このページでは、sin 224° = -0.694659…を三角関数表を使わずに求める手法について説明します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に光を当てて、値の求め方を明らかにしていきます。

サインの表とは下ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
本解説では、sin224°の求め方紹介です。

$$\sin 224°=-0.694659…$$

目次

sin 224° を10桁確認

早速ですが、sin 224°を10桁調べてみましょう!$$\sin 224° = -0.6946583705 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin224°の値を解く

三角関数表を使用せずにsin224°の値を計算するやり方はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を使用して224°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を駆使して計算する
  3. マクローリン展開に値を代入して解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を計算できず、求まる値は近似値になります。

2の手法だと、導出が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を説明します。

マクローリン展開でsin224°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\sin x\)を求めることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)が分かれば\(\sin x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 224°$$

この式を計算すると、
$弧度法=3.909537…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 224°\)を求められます。

$$\sin 224° = -0.694659…$$

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