今回は、sin 230° = -0.766045…を電卓で計算する手法について明らかにしていきます。
三角関数表の中のサイン(sin)の表に注目して、値の計算方法を明らかにしていきます。
サインの表とは下記ののような表のことです。
角度 | 値 | 角度 | 値 |
---|---|---|---|
sin1° | 0.017452 | sin2° | 0.034899 |
sin3° | 0.052335 | sin4° | 0.069756 |
・・・ | ・・・ | ||
sin30° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | sin45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
sin60° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | sin90° | 1 |
教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
本解説では、sin230°の算出方法解説です。
$$\sin 230°=-0.766045…$$
10桁のsin 230°を書いてみる
初めに、sin 230°を10桁調べてみましょう!$$\sin 230° = -0.7660444432 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
sin230°の値を算出する
三角関数表を確認せずにsin230°の値を算出する方法は3つあります。
1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、答えは近似値になります。
2の方法だと、計算が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を説明します。
マクローリン展開でsin230°を求める
マクローリン展開を使うと下記の式で\(\sin x\)を求めることができます。
$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を代入すると\(\sin x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開って何?って人だったとしても、式だけ分かれば問題ないですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 230°$$
この式を計算すると、
$弧度法=4.014257…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 230°\)を求められます。
$$\sin 230° = -0.766045…$$
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