それでは、sin 257° = -0.974371…を三角関数表を使わずに求めるやり方について明らかにしていきます。
三角関数表の中のサイン(sin)の表に光を当てて、値の求める方法を説明していきます。
サインの表とはこのような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| sin1° | 0.017452 | sin2° | 0.034899 |
| sin3° | 0.052335 | sin4° | 0.069756 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| sin30° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | sin45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| sin60° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | sin90° | 1 |
数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
このページでは、sin257°の計算方法解説です。
$$\sin 257°=-0.974371…$$
10桁のsin 257°を調べる
早速ですが、sin 257°を10桁表してみましょう！$$\sin 257° = -0.9743700648 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
sin257°の値を明らかにする
三角関数表を使わずにsin257°の値を算出するやり方は大きく3つあります。
1の方法は、定規を使うため正確な値を計算できず、出てくる値は近似値になります。
2の方法だと、計算がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を解説します。
マクローリン展開でsin257°を求める
マクローリン展開を使うと下記の式で\(\sin x\)を明らかにすることができます。
$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)が分かれば\(\sin x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 257°$$
この式を計算すると、
$弧度法=4.485496…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 257°\)を求められます。
$$\sin 257° = -0.974371…$$
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