三角関数表のサインの表におけるsin54°の導出

今回は、sin 54° = 0.809016…を求める方法について解き明かしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に着目して、値の求める方法を紹介していきます。

サインの表とは下ののような表のことです。

教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
今回は、sin54°の求め方紹介です。

$$\sin 54°=0.809016…$$

sin 54° を10桁書いてみる

初めに、sin 54°を10桁書いてみましょう！$$\sin 54° = 0.8090169943 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

三角関数表を使わずにsin54°の値を計算する方法は3つあります。

1の手法は、定規を使うため正確な値を算出できず、出てくる値は近似値になります。

2のやり方だと、計算過程が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開より、下記の式で$\sin x$を計算することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、$\sin x$の$x$が分かれば$\sin x$の値を計算することができるのです。
マクローリン展開って何？って人だったとしても、式だけ分かれば問題ないですよ。

ただし注意点として$x$には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 54°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.942477…$となります。

この値をマクローリン展開の$x$に代入すると、$\sin 54°$を求められます。

$$\sin 54° = 0.809016…$$