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三角関数表のサインの表におけるsin70°を解く

本解説では、sin 70° = 0.939692…を計算する方法について明らかにしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に焦点を絞って、値の計算の仕方を紹介していきます。

サインの表とは下ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
今回は、sin70°の求める方法紹介です。

$$\sin 70°=0.939692…$$

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sin 70°を10桁調べる

唐突ではありますが、sin 70°を10桁書いてみましょう!$$\sin 70° = 0.9396926207 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin70°の値を明らかにする

三角関数表を使わずにsin70°の値を算出する方法は3つあります。

  1. 分度器を使って70°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開を活用して解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を算出できず、答えは近似値になります。

2のやり方だと、導出過程がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を説明します。

マクローリン展開でsin70°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\sin x\)を求めることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を使うと\(\sin x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 70°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.22173…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 70°\)を求められます。

$$\sin 70° = 0.939692…$$

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