三角関数表のサインの表におけるsin87°を解く

今回は、sin 87° = 0.998629…を求める方法について共有します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に着目して、値の計算方法を説明していきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
今回は、sin87°の求め方解説です。

$$\sin 87°=0.998629…$$

10桁のsin 87°を確認

まずは、sin 87°を10桁書いてみましょう！$$\sin 87° = 0.9986295347 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

三角関数表を確認せずにsin87°の値を算出するやり方は大きく3つあります。

1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、求まる値は近似値になります。

2のやり方だと、導出がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を紹介します。

マクローリン展開より、下記の式で$\sin x$を明らかにすることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、$\sin x$の$x$を使うと$\sin x$の値を解くことができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。

ただし注意点として$x$には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 87°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.518436…$となります。

この値をマクローリン展開の$x$に代入すると、$\sin 87°$を求められます。

$$\sin 87° = 0.998629…$$