【和積の公式】導出(作り方)と覚え方(語呂合わせ)【工学博士監修】

和積の公式とは

三角関数の\(\sin A\), \(\cos B\)の和を積に直す公式

\begin{eqnarray}
(1)\ \sin x+\sin y &=& 2\sin\displaystyle \frac{x+y}{2}\cos \displaystyle \frac{x-y}{2} \\
(2)\ \sin x-\sin y &=& 2{\cos\displaystyle \frac{x+y}{2}\sin \displaystyle \frac{x-y}{2}} \\
(3)\ \cos x+\cos y &=& 2{\cos\displaystyle \frac{x+y}{2}\cos \displaystyle \frac{x-y}{2}} \\
(4)\ \cos x-\cos y &=& -2{\sin\displaystyle \frac{x+y}{2}\sin \displaystyle \frac{x-y}{2}} \\
\end{eqnarray}

和積の公式はとっても重要ですが、数が多くて覚えるのが大変ですよね。

トムソン
トムソン

暗記もできないし、導出するのも難しいよ・・・

そんな、あなたに向けて、和積の公式を導出する方法と語呂合わせでの覚え方を紹介していきます!

この記事で解説すること!

  • 和積の公式の作り方(導出方法)
  • 語呂合わせでの覚え方

では早速いってみましょうー!

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トムソン

■ 九州大学工学博士
■ 現役半導体エンジニア
■ 高専卒
■ 第三種電気主任技術者
■ 第二種電気工事士

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和積の公式の作り方(導出)

和積の公式は積和の公式を変形することで求めることができます。

積和の公式とは

三角関数の\(\sin A\), \(\cos B\)の積を和に直す公式

\begin{eqnarray}
(a)\ \sin A\cos B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}\\
(b)\ \cos A\sin B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\sin(A+B)-\sin(A-B)\}\\
(c)\ \cos A\cos B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}\\
(d)\ \sin A\sin B &=&- &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}
\end{eqnarray}

ここで、

\begin{eqnarray}
A &=& \displaystyle \frac{x+y}{2} \\
B &=& \displaystyle \frac{x-y}{2}
\end{eqnarray}

として代入すると、和積の公式を作れます。

\(\sin x+\sin y\)の式を導出

\(\sin x+\sin y = 2\sin\displaystyle \frac{x+y}{2}\cos \displaystyle \frac{x-y}{2}\)を作ってみましょう。

積和の公式より、

\begin{eqnarray}
\sin A\cos B &=& \displaystyle \frac{1}{2}{\sin(A+B)+\sin(A-B)}\\\\
A &=& \displaystyle \frac{x+y}{2} \\
B &=& \displaystyle \frac{x-y}{2} \end{eqnarray}

とすると、

\begin{eqnarray}
\sin \displaystyle \frac{x+y}{2} \cos \displaystyle \frac{x-y}{2} &=& \displaystyle \frac{1}{2}{\sin(\displaystyle \frac{x+y}{2}+\displaystyle \frac{x-y}{2})+\sin(\displaystyle \frac{x+y}{2}-\displaystyle \frac{x-y}{2})} \\ \\
2\sin \displaystyle \frac{x+y}{2} \cos \displaystyle \frac{x-y}{2} &=&\sin x+\sin y\\\\
∴\sin x+\sin y&=&2\sin \displaystyle \frac{x+y}{2} \cos \displaystyle \frac{x-y}{2}
\end{eqnarray}

和積の公式を導けました。

トムソン
トムソン

ポイントは、積和の公式で\(A = \displaystyle \frac{x+y}{2}と \
B = \displaystyle \frac{x-y}{2}\)とすることを覚えておくことです。

この式だけ覚えれば和積の公式は全て導けます!

残りの和積の公式を作っていきましょう!

\(\sin x-\sin y\)の式を導出

\(\sin x-\sin y = 2{\cos\displaystyle \frac{x+y}{2}\sin \displaystyle \frac{x-y}{2}}\)を作っていきます!

積和の公式より、

\begin{eqnarray}
\cos A\sin B &=&\displaystyle \frac{1}{2}{\sin(A+B)-\sin(A-B)}\\\\
A &=& \displaystyle \frac{x+y}{2} \\
B &=& \displaystyle \frac{x-y}{2} \end{eqnarray}

とすると、

\begin{eqnarray}
\cos \displaystyle \frac{x+y}{2} \sin \displaystyle \frac{x-y}{2} &=& \displaystyle \frac{1}{2}{\sin(\displaystyle \frac{x+y}{2}+\displaystyle \frac{x-y}{2})-\sin(\displaystyle \frac{x+y}{2}-\displaystyle \frac{x-y}{2})} \\ \\
2\cos \displaystyle \frac{x+y}{2} \sin \displaystyle \frac{x-y}{2} &=&\sin x-\sin y\\\\
∴\sin x-\sin y&=&2\cos \displaystyle \frac{x+y}{2} \sin \displaystyle \frac{x-y}{2}
\end{eqnarray}

以上です。

\(\cos x+\cos y\)の式を導出

\(\cos x+\cos y = 2{\cos\displaystyle \frac{x+y}{2}\cos \displaystyle \frac{x-y}{2}}\)を作っていきます。

積和の公式より、

\begin{eqnarray}
\cos A\cos B &=& \displaystyle \frac{1}{2}{\cos(A+B)+\cos(A-B)}\\\\
A &=& \displaystyle \frac{x+y}{2} \\
B &=& \displaystyle \frac{x-y}{2} \end{eqnarray}

とすると、

\begin{eqnarray}
\cos \displaystyle \frac{x+y}{2} \cos \displaystyle \frac{x-y}{2} &=& \displaystyle \frac{1}{2}{\cos(\displaystyle \frac{x+y}{2}+\displaystyle \frac{x-y}{2})+\cos(\displaystyle \frac{x+y}{2}-\displaystyle \frac{x-y}{2})} \\ \\
2\cos \displaystyle \frac{x+y}{2} \cos \displaystyle \frac{x-y}{2} &=&\cos x +\cos y\\\\
∴\cos x+\cos y&=&2\cos \displaystyle \frac{x+y}{2} \cos \displaystyle \frac{x-y}{2}
\end{eqnarray}

以上です。

\(\cos x-\cos y\)の式を導出

\(\cos x-\cos y = -2{\sin\displaystyle \frac{x+y}{2}\sin \displaystyle \frac{x-y}{2}}\)を作っていきます。

積和の公式より、

\begin{eqnarray}
\sin A\sin B &=&- \displaystyle \frac{1}{2}{\cos(A+B)+\cos(A-B)}
A &=& \displaystyle \frac{x+y}{2} \\
B &=& \displaystyle \frac{x-y}{2} \end{eqnarray}

とすると、

\begin{eqnarray}
\sin \displaystyle \frac{x+y}{2} \sin \displaystyle \frac{x-y}{2} &=& \displaystyle \frac{1}{2}{\cos(\displaystyle \frac{x+y}{2}+\displaystyle \frac{x-y}{2})-\cos(\displaystyle \frac{x+y}{2}-\displaystyle \frac{x-y}{2})} \\ \\
-2\sin \displaystyle \frac{x+y}{2} \sin \displaystyle \frac{x-y}{2} &=&\cos x -\cos y\\\\
∴\cos x-\cos y&=&-2\sin \displaystyle \frac{x+y}{2} \sin \displaystyle \frac{x-y}{2}
\end{eqnarray}

以上です。

和積の公式の覚え方(語呂合わせ)

和積の公式の覚え方は、

『積和の公式を覚える。そして導く!』

です。

三角関数は覚えるべき公式が山のようにあります。

覚える公式は少ない方が絶対に得です。

そのため和積の公式は覚えずに、積和の公式を覚えて、積和の公式から導くのが良いでしょう。

和積の公式を覚える方法

  • 和積の公式は暗記せず、導けるようになる方が得
  • 積和の公式は語呂合わせで覚える
  • プラスで\(A = \displaystyle \frac{x+y}{2} とB = \displaystyle \frac{x-y}{2}\)は覚える

積和の公式の語呂合わせ

積和の公式を先に語呂合わせで覚えます!

あなたが使いやすい方を使いましょう!

積和の公式の語呂合わせ

\begin{eqnarray}
\sin A\cos B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}&\cdots(1)& \\
\cos A\sin B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\sin(A+B)-\sin(A-B)\}&\cdots(2)&\\
\cos A\cos B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}&\cdots(3)&\\
\sin A\sin B &=&- &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\cos(A+B)-\cos(A-B)\}&\cdots(4)&
\end{eqnarray}

\((1)\)雑魚は半分、さっさと倒す

\(\sin A\cos B =\)で『雑魚は』

\(\displaystyle \frac{1}{2}\)が『半分』

\(\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}\)が『さっさ』

ですね。

『雑魚は』『半分』『さっさ』と倒す

トムソン
トムソン

雑魚をたくさん釣って捌いてる最中でしょうか?

\((2)\)コスモス咲いた、半分…咲い…咲い…た?

\(\cos A\sin B\)で『コスモス咲いた』

\(\displaystyle \frac{1}{2}\)が『半分』

\({\sin(A+B)+\sin(A-B)}\)が『咲い…咲い…』

『コスモス咲いた』『半分』『咲い…咲い…』た

トムソン
トムソン

冬にコスモス園に来たけど、半分も咲いてなかったんでしょうかね?

\((3)\)ここは半分ごっこ

\(\cos A\cos B=\)で『ここは』

\(\displaystyle \frac{1}{2}\)で『半分』

\(\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}\)で『ごっこ』

『ここは』『半分』『ごっこ』

トムソン
トムソン

いつもは半分ごっこではないのでしょうか・・・

\((4)\)歳々(さいさい)は毎晩ココ

\(\sin A\sin B=\)で『歳々(さいさい)は』

\(-\displaystyle \frac{1}{2}\)で『毎(マイナス)晩(半)』

\(\{\cos(A+B)-\cos(A-B)\}\)『ここ』

『歳々(さいさい)は』『毎晩』『ここ』

トムソン
トムソン

歳々(さいさい)ってなんでしょうね?

これで積和の公式は完璧ですね。

あとは\(A = \displaystyle \frac{x+y}{2} とB = \displaystyle \frac{x-y}{2}\)を積和の公式に代入しましょう。

すると、和積の公式を導くことができますよ!

和積の公式まとめ

和積の公式の導き方と覚え方を解説してきました。

  • 和積の公式は積和の公式から導出できる
  • 覚え方は、積和の公式を覚えて、そこから導くのがいい!

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