今回は和積の公式について解説していきます。
和積の公式とは何かを説明して、証明と覚え方も紹介しますよ。
和積の公式とは
和積の公式とは、三角関数の\(\sin A\), \(\cos B\)の和を積に直す公式のことです。
\begin{eqnarray}
(1)\ \sin x+\sin y &=& 2\sin\displaystyle \frac{x+y}{2}\cos \displaystyle \frac{x-y}{2} \\
(2)\ \sin x-\sin y &=& 2{\cos\displaystyle \frac{x+y}{2}\sin \displaystyle \frac{x-y}{2}} \\
(3)\ \cos x+\cos y &=& 2{\cos\displaystyle \frac{x+y}{2}\cos \displaystyle \frac{x-y}{2}} \\
(4)\ \cos x-\cos y &=& -2{\sin\displaystyle \frac{x+y}{2}\sin \displaystyle \frac{x-y}{2}} \\
\end{eqnarray}
まずは、これらの和積の公式の覚え方を見ていきましょう。
和積の公式の覚え方
和積の公式の覚え方は、
『積和の公式を覚える。そして導く！』
です。
三角関数は覚えるべき公式が山のようにあります。
覚える公式は少ない方が絶対に得です。
そのため和積の公式は覚えずに、積和の公式を覚えて、積和の公式から導くのが良いでしょう。
和積の公式を覚える方法
- 和積の公式は暗記せず、導けるようになる方が得
- 積和の公式は語呂合わせで覚える
- プラスで\(A = \displaystyle \frac{x+y}{2} とB = \displaystyle \frac{x-y}{2}\)は覚える
積和の公式の語呂合わせ
積和の公式を先に語呂合わせで覚えます！
あなたが使いやすい方を使いましょう！
積和の公式の語呂合わせ
\begin{eqnarray}
\sin A\cos B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}&\cdots(1)& \\
\cos A\sin B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\sin(A+B)-\sin(A-B)\}&\cdots(2)&\\
\cos A\cos B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}&\cdots(3)&\\
\sin A\sin B &=&- &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\cos(A+B)-\cos(A-B)\}&\cdots(4)&
\end{eqnarray}
\((1)\)雑魚は半分、さっさと倒す
\(\sin A\cos B =\)で『雑魚は』
\(\displaystyle \frac{1}{2}\)が『半分』
\(\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}\)が『さっさ』
ですね。
『雑魚は』『半分』『さっさ』と倒す
\((2)\)コスモス咲いた、半分…咲い…咲い…た？
\(\cos A\sin B\)で『コスモス咲いた』
\(\displaystyle \frac{1}{2}\)が『半分』
\({\sin(A+B)+\sin(A-B)}\)が『咲い…咲い…』
『コスモス咲いた』『半分』『咲い…咲い…』た
冬にコスモス園に来たけど、半分も咲いてなかったんでしょうかね？
\((3)\)ここは半分ごっこ
\(\cos A\cos B=\)で『ここは』
\(\displaystyle \frac{1}{2}\)で『半分』
\(\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}\)で『ごっこ』
『ここは』『半分』『ごっこ』
いつもは半分ごっこではないのでしょうか・・・
\((4)\)歳々（さいさい）は毎晩ココ
\(\sin A\sin B=\)で『歳々（さいさい）は』
\(-\displaystyle \frac{1}{2}\)で『毎（マイナス）晩（半）』
\(\{\cos(A+B)-\cos(A-B)\}\)『ここ』
『歳々（さいさい）は』『毎晩』『ここ』
歳々（さいさい）ってなんでしょうね？
これで積和の公式は完璧ですね。
あとは\(A = \displaystyle \frac{x+y}{2} とB = \displaystyle \frac{x-y}{2}\)を積和の公式に代入しましょう。
すると、和積の公式を導くことができますよ！
和積の公式の導出
和積の公式は積和の公式を変形することで求めることができます。
積和の公式とは
三角関数の\(\sin A\), \(\cos B\)の積を和に直す公式
\begin{eqnarray}
(a)\ \sin A\cos B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}\\
(b)\ \cos A\sin B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\sin(A+B)-\sin(A-B)\}\\
(c)\ \cos A\cos B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}\\
(d)\ \sin A\sin B &=&- &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}
\end{eqnarray}
積和の公式については下記の記事が参考になります。
>>積和の公式<<
\(\sin x+\sin y\)の式を導出
$\sin x+\sin y &=& 2\sin\displaystyle \frac{x+y}{2}\cos \displaystyle \frac{x-y}{2}$
を導出しましょう。
\begin{eqnarray}
A &=& \displaystyle \frac{x+y}{2} \\
B &=& \displaystyle \frac{x-y}{2}
\end{eqnarray}
として積和の公式に代入すると、和積の公式を作れます。
積和の公式より、
\begin{eqnarray}
\sin A\cos B &=& \displaystyle \frac{1}{2}{\sin(A+B)+\sin(A-B)}\\\\
A &=& \displaystyle \frac{x+y}{2} \\
B &=& \displaystyle \frac{x-y}{2} \end{eqnarray}
とすると、
\begin{eqnarray}
\sin \displaystyle \frac{x+y}{2} \cos \displaystyle \frac{x-y}{2} &=& \displaystyle \frac{1}{2}{\sin(\displaystyle \frac{x+y}{2}+\displaystyle \frac{x-y}{2})+\sin(\displaystyle \frac{x+y}{2}-\displaystyle \frac{x-y}{2})} \\ \\
2\sin \displaystyle \frac{x+y}{2} \cos \displaystyle \frac{x-y}{2} &=&\sin x+\sin y\\\\
∴\sin x+\sin y&=&2\sin \displaystyle \frac{x+y}{2} \cos \displaystyle \frac{x-y}{2}
\end{eqnarray}
この式があれば、残りの和積の公式は比較的簡単に導出できます。
\(\sin x-\sin y\)の式を導出
\(\sin x-\sin y = 2{\cos\displaystyle \frac{x+y}{2}\sin \displaystyle \frac{x-y}{2}}\)を導出します。
積和の公式より、
\begin{eqnarray}
\cos A\sin B &=&\displaystyle \frac{1}{2}{\sin(A+B)-\sin(A-B)}\\\\
A &=& \displaystyle \frac{x+y}{2} \\
B &=& \displaystyle \frac{x-y}{2} \end{eqnarray}
とすると、
\begin{eqnarray}
\cos \displaystyle \frac{x+y}{2} \sin \displaystyle \frac{x-y}{2} &=& \displaystyle \frac{1}{2}{\sin(\displaystyle \frac{x+y}{2}+\displaystyle \frac{x-y}{2})-\sin(\displaystyle \frac{x+y}{2}-\displaystyle \frac{x-y}{2})} \\ \\
2\cos \displaystyle \frac{x+y}{2} \sin \displaystyle \frac{x-y}{2} &=&\sin x-\sin y\\\\
∴\sin x-\sin y&=&2\cos \displaystyle \frac{x+y}{2} \sin \displaystyle \frac{x-y}{2}
\end{eqnarray}
\(\cos x+\cos y\)の式を導出
\(\cos x+\cos y = 2{\cos\displaystyle \frac{x+y}{2}\cos \displaystyle \frac{x-y}{2}}\)を導出します。
積和の公式より、
\begin{eqnarray}
\cos A\cos B &=& \displaystyle \frac{1}{2}{\cos(A+B)+\cos(A-B)}\\\\
A &=& \displaystyle \frac{x+y}{2} \\
B &=& \displaystyle \frac{x-y}{2} \end{eqnarray}
とすると、
\begin{eqnarray}
\cos \displaystyle \frac{x+y}{2} \cos \displaystyle \frac{x-y}{2} &=& \displaystyle \frac{1}{2}{\cos(\displaystyle \frac{x+y}{2}+\displaystyle \frac{x-y}{2})+\cos(\displaystyle \frac{x+y}{2}-\displaystyle \frac{x-y}{2})} \\ \\
2\cos \displaystyle \frac{x+y}{2} \cos \displaystyle \frac{x-y}{2} &=&\cos x +\cos y\\\\
∴\cos x+\cos y&=&2\cos \displaystyle \frac{x+y}{2} \cos \displaystyle \frac{x-y}{2}
\end{eqnarray}
\(\cos x-\cos y\)の式を導出
\(\cos x-\cos y = -2{\sin\displaystyle \frac{x+y}{2}\sin \displaystyle \frac{x-y}{2}}\)を導出します。
積和の公式より、
\begin{eqnarray}
\sin A\sin B &=&- \displaystyle \frac{1}{2}{\cos(A+B)+\cos(A-B)}
A &=& \displaystyle \frac{x+y}{2} \\
B &=& \displaystyle \frac{x-y}{2} \end{eqnarray}
とすると、
\begin{eqnarray}
\sin \displaystyle \frac{x+y}{2} \sin \displaystyle \frac{x-y}{2} &=& \displaystyle \frac{1}{2}{\cos(\displaystyle \frac{x+y}{2}+\displaystyle \frac{x-y}{2})-\cos(\displaystyle \frac{x+y}{2}-\displaystyle \frac{x-y}{2})} \\ \\
-2\sin \displaystyle \frac{x+y}{2} \sin \displaystyle \frac{x-y}{2} &=&\cos x -\cos y\\\\
∴\cos x-\cos y&=&-2\sin \displaystyle \frac{x+y}{2} \sin \displaystyle \frac{x-y}{2}
\end{eqnarray}
以上です。
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