【余弦定理の証明】三角関数を使った公式の証明を工学博士が解説！

余弦定理を証明する方法

• 三角関数を利用する方法
• ベクトル内積の分配法則を利用する方法

余弦定理の証明１｜∠Aが鋭角の場合

三角形(ABC)において、(AB=c,\ BC=a,\ CA=b)とする。

頂点Cから辺ABに垂線を降ろし、垂線と辺ABの交点をHとする。

この時\(▲CHB\)に注目する。

三平方の定理より、

$$CB^2=CH^2+HB^2\cdots(1)$$

である。各辺の長さをそれぞれ\(a,\ b,\ c\)で表すと下記のようになる。

\begin{eqnarray} CB &=& a \\
CH &=& b\sin A\\
HB&=&c-b\cos A \end{eqnarray}

これらの式を(1)に代入する。

\begin{eqnarray} CB^2&=&CH^2+HB^2\\
a^2 &=& (b\sin A)^2+(c-b\cos A)^2\\
a^2&=&b^2\sin^2 A+c^2-2bc\cos A+b^2\cos^2 A\\
a^2&=&b^2(\sin^2 A+\cos^2 A)+c^2-2bc\cos A \end{eqnarray}

\(\sin^2 A+\cos^2 A=1\)なので、

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

となる。

以上より、\(∠A\)が鋭角の場合において

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

は成立する。

余弦定理の証明２｜∠Aが直角の場合

直角は角度が\(90°\)（\(\displaystyle \frac{\pi}{2}rad\)）なので、余弦定理に代入して考えてみます。

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

\(∠A=90°\)なので、\(\cos A=1\)

\(a^2=b^2+c^2\)である。

\(▲ABC\)は直角三角形なので、\(a^2=b^2+c^2\)となる。

以上より、\(∠A\)が直角の時、

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

は成立する。

余弦定理の証明３｜∠Aが鈍角の場合

三角形(ABC)において、(AB=c,\ BC=a,\ CA=b)とする。

頂点Cから辺ABに垂線を降ろし、垂線と辺AB延長線の交点をHとする。

三平方の定理より、下記の式を得る。

$$BC^2=CH^2+HB^2$$

ここで、\(BC=a\)である。

また、

$$CH=b\sin(180-∠A),\ HA=b\cos (180-∠A)$$

である。

\begin{eqnarray} \sin(180-∠A)&=&\sin ∠A \\
\cos(180-∠A)&=&-\cos ∠A \end{eqnarray}

なので、\(HB=c-b\cos ∠A\)と書ける。

これらを\(BC^2=CH^2+HB^2\)に代入すると以下の式を得ることができる。

\begin{eqnarray} a^2&=&(b\sin ∠A)^2+(c-b\cos ∠A)^2 \\
a^2&=&b^2\sin^2 ∠A+c^2-2bc\cos ∠A+b^2\cos^2∠A \\
a^2&=&b^2(\sin^2 ∠A+\cos^2∠A)+c^2-2bc\cos ∠A\\
a^2&=&b^2+c^2-2bc\cos ∠A \end{eqnarray}

となるため、∠Aが鈍角の場合でも

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

は成立する。