【余弦定理の証明】三角関数を使った公式の証明を工学博士が解説!

余弦定理

三角形\(ABC\)において、\(AB=c,\ BC=a,\ CA=b\)とするとき下記の式が成り立つ。

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\\
b^2=c^2+a^2-2ca \cos B\\
c^2=a^2+b^2-2ab \cos C$$

三角比を習うときに出てくる余弦定理は受験で必須と言っても過言ではない定理です。

今回はこの余弦定理を証明していきます!

余弦定理は本当に大事なので、1度は証明を読んでおきましょう。

トムソン
トムソン

1度は自分の手を動かして、証明してみると公式も効率良く覚えられますよ。この記事を読みながらでも全然OKです!

※証明には「三角関数」と「三平方の定理」を使います。理解できてないなーって方は、まずそっちを読んでもらえると理解が早くなりますよ。

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余弦定理の証明

余弦定理の証明を行います。

証明する式は

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

です!

余弦定理を証明する方法は2つあります。

余弦定理を証明する方法

  • 三角関数を利用する方法
  • ベクトル内積の分配法則を利用する方法

今回は三角関数を利用する方法で証明したいと思います。

ベクトル内積の分配法則による証明を知りたい方はこちらをご参照くださいませ!

三角関数を利用する証明は、3パターンに分けて証明する必要があります。

∠Aが鋭角の場合、直角の場合、鈍角の場合の3パターンです。

鋭角・直角・鈍角の3種類を証明すれば、\(∠A\)がどんな角度の三角形でも成り立つことを示せるからです。

では、鋭角の三角形から証明していきましょう!

余弦定理の証明1|∠Aが鋭角の場合

三角形(ABC)において、(AB=c,\ BC=a,\ CA=b)とする。

頂点Cから辺ABに垂線を降ろし、垂線と辺ABの交点をHとする。

余弦定理証明(鋭角)

この時\(▲CHB\)に注目する。

三平方の定理より、

$$CB^2=CH^2+HB^2\cdots(1)$$

である。各辺の長さをそれぞれ\(a,\ b,\ c\)で表すと下記のようになる。

\begin{eqnarray} CB &=& a \\
CH &=& b\sin A\\
HB&=&c-b\cos A \end{eqnarray}

これらの式を(1)に代入する。

\begin{eqnarray} CB^2&=&CH^2+HB^2\\
a^2 &=& (b\sin A)^2+(c-b\cos A)^2\\
a^2&=&b^2\sin^2 A+c^2-2bc\cos A+b^2\cos^2 A\\
a^2&=&b^2(\sin^2 A+\cos^2 A)+c^2-2bc\cos A \end{eqnarray}

\(\sin^2 A+\cos^2 A=1\)なので、

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

となる。

以上より、\(∠A\)が鋭角の場合において

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

は成立する。

\(\sin^2 A+\cos^2A=1\)は三角関数の公式を使用しました。

参考記事はこちらです!

次は∠Aが直角の場合を証明していきます。

余弦定理の証明2|∠Aが直角の場合

直角は角度が\(90°\)(\(\displaystyle \frac{\pi}{2}rad\))なので、余弦定理に代入して考えてみます。

余弦定理証明(直角)

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

\(∠A=90°\)なので、\(\cos A=1\)

\(a^2=b^2+c^2\)である。

\(▲ABC\)は直角三角形なので、\(a^2=b^2+c^2\)となる。

以上より、\(∠A\)が直角の時、

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

は成立する。

鋭角や鈍角の場合だと、具体的な角度がないからこの方法は使えません。

しかし、直角は\(90°\)だと分かっているので、代入して成り立つことを確認すればOKです。

最後は鈍角の場合です。

余弦定理の証明3|∠Aが鈍角の場合

三角形(ABC)において、(AB=c,\ BC=a,\ CA=b)とする。

頂点Cから辺ABに垂線を降ろし、垂線と辺AB延長線の交点をHとする。

余弦定理の証明(鈍角)

三平方の定理より、下記の式を得る。

$$BC^2=CH^2+HB^2$$

ここで、\(BC=a\)である。

また、

$$CH=b\sin(180-∠A),\ HA=b\cos (180-∠A)$$

である。

\begin{eqnarray} \sin(180-∠A)&=&\sin ∠A \\
\cos(180-∠A)&=&-\cos ∠A \end{eqnarray}

なので、\(HB=c-b\cos ∠A\)と書ける。

これらを\(BC^2=CH^2+HB^2\)に代入すると以下の式を得ることができる。

\begin{eqnarray} a^2&=&(b\sin ∠A)^2+(c-b\cos ∠A)^2 \\
a^2&=&b^2\sin^2 ∠A+c^2-2bc\cos ∠A+b^2\cos^2∠A \\
a^2&=&b^2(\sin^2 ∠A+\cos^2∠A)+c^2-2bc\cos ∠A\\
a^2&=&b^2+c^2-2bc\cos ∠A \end{eqnarray}

となるため、∠Aが鈍角の場合でも

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

は成立する。

以上で、∠Aが鋭角・直角・鈍角のどの場合でも

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

が成立することを確認できました。

これで余弦定理の証明完了です!

余弦定理証明|まとめ

余弦定理を証明しました!

  • 証明する方法は三角関数を使う方法とベクトルを使う方法の2種類
  • 今回は三角関数で証明を実施
  • 鋭角・直角・鈍角の3パターンで証明する必要あり

となります。正弦定理との違いもはっきりさせておきましょう!

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