余弦定理で角度を求める2つの方法

余弦定理

三角形\(ABC\)において、\(AB=c,\ BC=a,\ CA=b\)とするとき下記の式が成り立つ。

\begin{eqnarray} a^2&=&b^2+c^2-2bc\cos A\\
b^2&=&c^2+a^2-2ca \cos B\\
c^2&=&a^2+b^2-2ab \cos C\end{eqnarray}

余弦定理を使って三角形の角度を求める方法を解説します。

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準備:余弦定理の式変形

まずは角度を求める準備段階として、余弦定理を式変形します。

\begin{eqnarray}
a^2&=&b^2+c^2-2bc\cos A\\
2bc\cos A &=&-a^2+b^2+c^2\\
\cos A &=& \displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
\end{eqnarray}

このように余弦定理を\(\cos A=\)の形に変形してあげます。

余弦定理3つの式で同様に変形すると、下記の式ができます。

余弦定理変形版

三角形ABC

\begin{eqnarray}\cos A &=& \displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\
\cos B &=& \displaystyle \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\
\cos C &=& \displaystyle \frac{b^2+a^2-c^2}{2ab}\end{eqnarray}

余弦定理で角度を求める2つの方法

余弦定理で角度を求める方法は2つあります。

  1. 2辺とその間の角から求める
  2. 3辺の長さから求める

実際に求め方を解説します。

3辺の長さから計算する(余弦定理)

変形した式から分かる通り、3辺の長さがわかれば、どの角度も求められます。

\begin{eqnarray}\cos A &=& \displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\
\cos B &=& \displaystyle \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\
\cos C &=& \displaystyle \frac{b^2+a^2-c^2}{2ab}\end{eqnarray}

具体的には3STEPで求めることができます!

余弦定理で角度を求める3STEP

  1. 余弦定理変形版に各辺の長さを代入する
  2. \(\cos A\)の値を求める
  3. 逆三角関数(アークコサイン)で\(A\)を計算する

下記の例のように3辺の長さ(\(a=7,\ b=5,\ c=10\))が分かれば、3つの角度を求めることができるのです。
時間があれば例題も解いてみてください。

例題1
3辺の長さが分かっている三角形

上記の三角形の角A、角B、角Cの大きさを計算せよ。

例題1の解答

解答

$$A=40.5358°,\ B=27.6605°,\ C=111.8037°$$

解説

まずは角Aの大きさを求めてみましょう。

$$\cos A = \displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$

この式を使います。\(a,\ b,\ c\)に値を代入すると以下のようになります。

\begin{eqnarray}
\cos A &=& \displaystyle \frac{5^2+10^2-7^2}{2\times5\times10} \\
&=& \displaystyle \frac{125-49}{100}\\
&=&\displaystyle \frac{76}{100}\\
&=&\displaystyle \frac{19}{25} \end{eqnarray}

ここまでで\(\cos A=\displaystyle \frac{19}{25}\)が分かりました。

ここからは計算機(もしくは教科書の最後のページにある三角関数表)の出番となります。

\(\displaystyle \frac{19}{25}=0.76\)なので、

\(\cos A\)の\(A\)にどんな角度が入れば\(0.76\)になるかを調べます。

教科書の資料を見てみると、

\(\cos 40°=0.7660\)で、\(\cos 41°=0.7547\)と記載されています。

つまり\(∠A=40°\)と分かります。(正確には\(40°\)ですね。)

実際に計算機で計算すると、\(∠A=40.5358\cdots\)となりました。

計算機を使う場合は逆三角関数のアークコサインという機能を使いましょう!

三角形の角度について、同様に角Bと角Cを求めていきます。

\begin{eqnarray} \cos B &=& \displaystyle \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \\
&=&\displaystyle \frac{124}{140} \\
&=&0.8857\end{eqnarray}

となります。

逆三角関数のアークコサインで計算すると、

\(∠B=27.6605\cdots\)となりました。

最後に角Cですが、三角形の内角の和は180°であることを利用すると簡単に解けます。

\begin{eqnarray} C &=& 180-A-B \\
&=& 180-40.5358-27.6605\\
&=& 111.8037 \end{eqnarray}

です。

もちろん小数点以下第5位を四捨五入しているので、多少の誤差を含みます。

2辺その間の角から求める(余弦定理)

下記の式を使って3STEPで求めることができます!

$a^2&=&b^2+c^2-2bc\cos A$

2辺とその間の角から求める3STEP

  1. 分かっている角の\(\cos x\)を計算する
  2. 2辺とその間の角を使って残る1辺の長さを求める
  3. 3辺の長さから角度を計算した方法で計算する

例えば下記の三角形なら、
$a^2&=&b^2+c^2-2bc\cos A$のうち、$b,\ c,\ \cos A$は求められるので、\(a\)が求められます。
すると、3辺の長さがわかるので、変形版余弦定理を使うことで角度を求められます。

\begin{eqnarray}\cos A &=& \displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\
\cos B &=& \displaystyle \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\
\cos C &=& \displaystyle \frac{b^2+a^2-c^2}{2ab}\end{eqnarray}

時間がある方は例題2を解いてみましょう。

例題2
2辺とその間の角が分かっている三角形

上記の三角形の角B、角Cの大きさを計算せよ。

例題2の解答

解答:

$$∠B=23.4468,\ ∠C=36.5532$$

解説:

今、bとcの長さが分かっているので、aの長さを計算します。

\(\cos 120°=-0.5\)なので、これを余弦定理に代入します。

\begin{eqnarray} a^2&=&b^2+c^2-2bc\cos A \\
&=& 8^2+12^2+192\times0.5\\
&=&112\\
∴\ a&=&17.44 \end{eqnarray}

となります。

ここから3辺の方で計算したやり方を適用すると、以下の答えを導けます。

\(∠B=23.4468,\ ∠C=36.5532\)

余弦定理で三角形の面積を求める

余弦定理を使うことで、三角形の面積を求めることもできます。

三角形の面積を求める
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