【台形】面積の求め方と公式を解説【対角線と平行四辺形で証明】

今回のテーマは台形の面積です!

解説する内容はこちら!

解説する内容!

  1. 台形の面積の求め方と公式
  2. 対角線を使った公式の証明
  3. 平行四辺形を使った公式の証明
  4. 台形の定義

算数で習う図形の中でも少し変わった台形。図をたくさん使ってわかりやすく解説しました。よかったら最後まで読んでください!

トムソン
トムソン

工学博士で25年以上数学を学んできた僕が解説します!

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台形の面積の求め方と公式

台形の面積の求め方(公式)

台形の面積を求める公式はこちら!

台形の面積を求める公式

\((上底+下底)\times高さ\div2\)

少し変わった形の公式ですね。

公式を使って1問、問題を解いてみましょう。

【問題】台形の面積

上底が\(2cm\)、下底が\(5cm\)、高さが\(4cm\)なので、公式を使うと

$$(2+5)\times4\div2=14$$

答えは\(14cm^2\)となります。

対角線を使った公式の証明

では公式を証明していきます。

まずは対角線を使った公式の証明です。

台形の面積の公式を対角線で証明

図のように台形に対角線を引くと、三角形が2つになることがわかります。

上の三角形と下の三角形の2つです。

上の三角形は底辺が\(2cm\)で高さが\(4cm\)の三角形です。

下の三角形は底辺が\(5cm\)で高さが\(4cm\)の三角形です。

これら2つの三角形の面積の合計が台形の面積ですね。

 

三角形の面積の公式\(底辺\times高さ\div2\)を使って計算してみましょう。

上の三角形:\(2\times4\div2=4\)

下の三角形:\(5\times4\div2=10\)

台形の面積:\(4+10=14\)

これらを計算せずに足してみます。

\begin{eqnarray} & &(2\times4\div2)+(5\times4\div2) \\
&=& (2+5)\times4\div2 \\ \end{eqnarray}

この式って\((上底+下底)\times高さ\div2\)ですよね!

もちろん答えは\(14\)で、三角形を2つ足した答えと同じです。

平行四辺形を使った証明

次に平行四辺形を使った証明をしましょう。

平行四辺形の公式は、\(面積=底辺\times高さ\)です。
参考記事\(\rightarrow\)平行四辺形の面積の求め方

台形は上下を逆さまにして合わせると平行四辺形になります。

台形の面積の公式を平行四辺形で証明

台形の面積はこの平行四辺形の面積の半分ですね。

そしてこの平行四辺形を求めるには\(底辺\times高さ\)を計算すれば良いです。

台形を2つ合わせた平行四辺形の場合、\(底辺=上底+下底\)です。

高さは同じなので、そのまま使って最後に\(2\)で割ってあげましょう!

すると、公式になります。

$$底辺\times高さ\div2=(上底+下底)\times高さ\div2$$

台形の定義

最後に台形の定義を紹介します。

台形の定義

向かい合う1組の辺が平行な四角形

台形の定義

正方形・長方形・平行四辺形・ひし形・台形の定義や面積の違いはこちらにまとめましたので、ぜひご活用ください!

今回は以上です!

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