共通因数をくくりだしてやる因数分解を解説|公式も紹介

今回は共通因数をくくる因数分解のやり方を紹介します。
\(\ 2ax^2+6ax+4a\)のような式を因数分解する方法です。

解説内容は 【因数分解とは】5つのやり方知ってますか?公式も解説 で紹介した内容をもっと深く解説していきます!

九州大学 工学博士で物理学者のトムソンが解説します!
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共通因数をくくる公式

最初に共通因数でくくる因数分解で使う公式を2つ紹介しておきます。

  • \(ma+mb=m(a+b)\)
  • \(an+bn=(a+b)n\)

上記の2つの公式は本質的には同じです。
共通因数をくくる因数分解では絶対に必要なので知っておきましょう!


それでは因数分解をやっていきます。
因数分解は3STEPでできますよ。

因数分解3STEP

共通因数をくくりだす因数分解3STEPはこちらです。

  1. 共通因数でくくりだしてやる
  2. 公式で因数分解する
  3. たすきがけで因数分解する

例題を通して1つずつ解説していきます!

共通因数でくくりだしてやる

【問題】次の式を因数分解せよ

\(5x^2-20y^2\)


まずは公式を使って共通因数をくくりだしてやります。
共通因数は\(5\)なので、\(5\)をくくりだします。

\(5x^2-20y^2=5(x^2-4y^2)\)

次は、公式を使って因数分解できるか考えてみましょう。

公式で因数分解する

\(5(x^2-4y^2)\)の\((x^2-4y^2)\)の部分が公式で因数分解できるか考えてみます。
因数分解の公式一覧に下記の公式があります。

\(x^2-y^2=(x+y)(x-y)\)

この公式を利用すると、

\(x^2-4y^2=(x+2y)(x-2y)\)と因数分解できます。

以上より、\(5x^2-20y^2=5(x+2y)(x-2y)\)となります!


次に公式を利用できない場合の因数分解を紹介します。

たすきがけで因数分解する

【問題】次の式を因数分解せよ
\(2ax^2+6ax+4a\)


それでは解いていきましょう。

まずは共通因数をくくりだします。
共通因数は\(2a\)なので、\(2a\)でくくります。

\(2ax^2+6ax+4a=2a(x^2+3x+2)\)となります。
次に\((x^2+3x+2)\)を因数分解したいのですが、使える公式がありません。

※参考 『因数分解の公式一覧

そこで、たすきがけを使って因数分解していきます。
たすきがけの詳しいやり方は下記の記事で紹介しているので、「たすきがけができない!」って方はご利用ください。

>>因数分解のたすきがけ<<

たすきがけを使うと下記の通り因数分解できます。
\(x^2+3x+2=(x+1)(x+2)\)

以上より、
\(2ax^2+6ax+4a=2a(x+1)(x+2)\)となります。

因数分解の練習問題

問題|共通因数でくくる

【問題】次の式を因数分解せよ

\((1)\ ax^2+4ax+4a\)

\((2)\ 5x^2-15xy-20y^2\)

解答

\((1)\ ax^2+4ax+4a\)

\(=a(x^2+4x+4)\\=a(x+2)^2\)

\((2)\ 5x^2-15xy-20y^2\)

\(=5(x^2-3xy-4y^2)\\=5(x+y)(x-4y)\)

今回は以上です!

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