【二重根号】外し方4パターン【外せない場合の判定方法も】

二重根号とは

\(\sqrt{8+2\sqrt{15}}\)の様にルートの中にルートがある式

二重根号は計算によって、

\(\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{3}+\sqrt{5}\)

の様に外側のルートを外すことが可能です。

ケルン
ケルン

二重根号を外す計算方法が知りたいなあ

外せない場合の判定ができるようになりたい!

今回はこういった疑問にお答えします!

この記事を読めばできるようになること!

  1. 二重根号をスムーズに外せる
  2. 二重根号を外すパターンを理解できる
  3. 外せない場合も判定できる!

では、いってみましょう〜

二重根号の基本的な外し方

まずは、二重根号の基本的な外し方です。

例題1

\(\sqrt{8+2\sqrt{15}}\)の二重根号を外しなさい。

つまり、

\(\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)

に変換しなさい。という問題になります。

基本的な計算方法は両辺を2乗する方法です。

\begin{eqnarray} \sqrt{8+2\sqrt{15}} &=& \sqrt{a}+\sqrt{b} \\
\left( \sqrt{8+2\sqrt{15}} \right) ^2&=& \left( \sqrt{a}+\sqrt{b}\right) ^2\\
8+2\sqrt{15}&=& a+b+2\sqrt{ab} \end{eqnarray}

2乗すると、

\(a+b=8\)と\(ab=15\)

の2つの式が見えてきます。

つまり、足して\(8\)、掛けて\(15\)になる2つの数字を見つければ良いことになります。

\(3\)と\(5\)ですね。\(a=3,\ b=5\)とすると二重根号を外せます。

$$\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{3}+\sqrt{5}$$

練習問題

練習問題1

二重根号を外しなさい。

(1)\(\sqrt{7+2\sqrt{10}}\)

(2)\(\sqrt{5+2\sqrt{4}}\)

(1)\(\sqrt{2}+\sqrt{5}\)

解説:\(\sqrt{7+2\sqrt{10}}\)なので、足して\(7\)、掛けて\(10\)になる数を探せば良いので、\(2\)と\(5\)の組み合わせになります。

(2)\(3\)

解説:\(\sqrt{5+2\sqrt{4}}\)なので、足して\(5\)、掛けて\(4\)になる組み合わせなので、\(1\)と\(4\)になります。

つまり、\(\sqrt{1}+\sqrt{4}\)になりますが、どちらも整数に直すことができます。

\(\sqrt{1}+\sqrt{4}=1+2=3\)が答えとなります。

別解:二重根号を外す計算をしないパターンもあります。

\(\sqrt{5+2\sqrt{4}}=\sqrt{5+2\times2}=\sqrt{9}=3\)

二重根号の中が引き算の場合

次に二重根号の中が引き算の場合です。

例題2

\(\sqrt{8-2\sqrt{15}}\)の二重根号を外しなさい。

この場合は、

\(\sqrt{8-2\sqrt{15}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}\)

を解くことを考えます。前と同様に両辺を2乗します。

\begin{eqnarray} \sqrt{8-2\sqrt{15}} &=& \sqrt{a}-\sqrt{b} \\
\left( \sqrt{8+2\sqrt{15}} \right) ^2&=& \left( \sqrt{a}-\sqrt{b}\right) ^2\\
8-2\sqrt{15}&=& a+b-2\sqrt{ab} \end{eqnarray}

やはり、\(a+b=8\)と\(ab=15\)を満たすa,bを見つける必要があり、\(a=5,\ b=3\)で答えは、

\(\sqrt{5}-\sqrt{3}\)となります。

注意点

根号の中がマイナスの場合は注意点があります。

数学では根号の中は基本的に正でなければなりません。(複素数は除きます。)

なので、

\(\sqrt{8-2\sqrt{15}} = \sqrt{a}-\sqrt{b}\)の場合、\(a>b\)である必要があります。

練習問題

練習問題2

二重根号を外しなさい。

(1)\(\sqrt{7-2\sqrt{10}}\)

(2)\(\sqrt{5-2\sqrt{6}}\)

(1)\(\sqrt{5}-\sqrt{2}\)

解説:\(\sqrt{7-2\sqrt{10}}\)なので、足して\(7\)、掛けて\(10\)になる数を探せば良いので、\(2\)と\(5\)の組み合わせになります。そして大きい方を先に書いて\(\sqrt{5}-\sqrt{2}\)です。

(2)\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)

解説:\(\sqrt{5-2\sqrt{6}}\)なので、足して\(5\)、掛けて\(6\)になる数を探せば良いので、\(3\)と\(2\)の組み合わせになります。そして大きい方を先に書いて\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)です。

二重根号の中に\(2\)がない場合

では、二重根号の中に\(2\)がない場合を考えます。

例題2

\(\sqrt{5+\sqrt{21}}\)の二重根号を外しなさい。

今までのように\(\sqrt{21}\)の前に\(2\)がないので、今までの方法が使えません。

では、どうするか。

\(\sqrt{21}\)の前に無理矢理\(2\)を置きます。

\begin{eqnarray} \sqrt{5+\sqrt{21}} &=&\sqrt{\displaystyle \frac{10+2\sqrt{21}}{2}} \\
&=& \displaystyle \frac{\sqrt{10+2\sqrt{21}} }{\sqrt{2}} \end{eqnarray}

ここから分子の二重根号を外します。足して\(10\)、掛けて\(21\)になればいいので、\(7\)と\(3\)の組み合わせになります。

\begin{eqnarray} \sqrt{5+\sqrt{21}} &=& \displaystyle \frac{\sqrt{10+2\sqrt{21}} }{\sqrt{2}} \\
&=& \displaystyle \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\
&=& \displaystyle \frac{\sqrt{14}+\sqrt{6}}{2} \end{eqnarray}

最後に分母を有理化しています。

練習問題

練習問題3

二重根号を外しなさい。

(1)\(\sqrt{6+\sqrt{35}}\)

(1)\(\displaystyle \frac{\sqrt{14}+\sqrt{10}}{2}\)

解説:\(\sqrt{35}\)の前に\(2\)を付けると、\(\sqrt{12+2\sqrt{35}}\)が出てくるので、足して\(12\)、掛けて\(35\)を探して、\(7\)と\(5\)だと分かります。最後に有理化をすればOKです。

\begin{eqnarray} \sqrt{6+\sqrt{35}} &=& \displaystyle \frac{\sqrt{12+2\sqrt{35}}}{\sqrt{2}} \\ &=& \displaystyle \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\\&=& \displaystyle \frac{\sqrt{14}+\sqrt{10}}{2} \end{eqnarray}

二重根号を外せるか判定する方法

二重根号を毎回都合よく外せるとは限りません。

テストなら外せる場合が多いかと思いますが、実験で計算を進めると外せない二重根号にも当たる可能性もあります。

(その時は実験条件を変えるなどするのですが・・・)

そこで、二重根号を外せるかどうかを判定する方法を解説します。

\(A\pm 2\sqrt{B}\)だと、足して\(A\)、掛けて\(B\)になる数を探すのですが、都合のいい数がない場合があります。

判定方法は\(A^2-4B\)を計算して結果が平方数であれば二重根号を外すことが可能です。

例えば、\(\sqrt{8-2\sqrt{15}}\)の場合、(練習問題1の問題です。)

\(64-4\times15=4\)

\(4\)は平方数なので分解可能です。

計算結果が\(3\)などの平方数ではない数になった場合、その二重根号は外すことができません。

二重根号まとめ

  • 二重根号を外すには二乗して計算が基本
  • 中に\(2\)がない場合は無理矢理つける
  • \(A^2-4B\)が平方数か調べれば二重根号を外せるかの判定が可能
ここまでで分からない点がありましたら、
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