【二重根号外し方】解き方と外せない時の判定方法を解説!

今回は二重根号のはずし方です。
二重根号の解き方・公式・外せないか判定する方法を解説します!

この記事を読めばできるようになること!

  1. 二重根号の外し方がわかる
  2. 二重根号を外す公式がわかる
  3. 外せないか判定できる!

この記事を読めば二重根号で困ることはなくなりますので、ぜひ最後まで読んでみてください!

トムソン
トムソン

九州大学 工学博士で物理学者の僕が解説します!
一緒に学んでいきましょう👍
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3分でわかる二重根号

まずは、3分で二重根号の外し方をサクッと理解できる動画を紹介します。
動画だけでは全てを理解できませんが、記事を読む前の予習になります。

こちらもぜひ、ご活用ください!

二重根号の外し方|基本編

まずは、二重根号の基本的な外し方です。

二重根号の中が足し算の解き方

問題

\(\sqrt{8+2\sqrt{15}}\)の二重根号を外しなさい。

つまり、

\(\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)

に変換しなさい。という問題になります。

基本的な計算方法は両辺を2乗する方法です。

\begin{eqnarray} \sqrt{8+2\sqrt{15}} &=& \sqrt{a}+\sqrt{b} \\
\left( \sqrt{8+2\sqrt{15}} \right) ^2&=& \left( \sqrt{a}+\sqrt{b}\right) ^2\\
8+2\sqrt{15}&=& a+b+2\sqrt{ab} \end{eqnarray}

2乗すると、

\(a+b=8\)と\(ab=15\)

の2つの式が見えてきます。

つまり、足して\(8\)、掛けて\(15\)になる2つの数字を見つければ良いことになります。

\(3\)と\(5\)ですね。\(a=3,\ b=5\)とすると二重根号を外せます。

$$\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{3}+\sqrt{5}$$

練習問題

練習問題1

二重根号を外しなさい。

(1)\(\sqrt{7+2\sqrt{10}}\)

(2)\(\sqrt{5+2\sqrt{4}}\)

解答と解説

(1)\(\sqrt{2}+\sqrt{5}\)

解説:\(\sqrt{7+2\sqrt{10}}\)なので、足して\(7\)、掛けて\(10\)になる数を探せば良いので、\(2\)と\(5\)の組み合わせになります。

(2)\(3\)

解説:\(\sqrt{5+2\sqrt{4}}\)なので、足して\(5\)、掛けて\(4\)になる組み合わせなので、\(1\)と\(4\)になります。

つまり、\(\sqrt{1}+\sqrt{4}\)になりますが、どちらも整数に直すことができます。

\(\sqrt{1}+\sqrt{4}=1+2=3\)が答えとなります。

別解:二重根号を外す計算をしないパターンもあります。

\(\sqrt{5+2\sqrt{4}}=\sqrt{5+2\times2}=\sqrt{9}=3\)

二重根号の中が引き算の解き方

次に二重根号の中が引き算の場合です。

問題

\(\sqrt{8-2\sqrt{15}}\)の二重根号を外しなさい。

この場合は、

\(\sqrt{8-2\sqrt{15}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}\)

を解くことを考えます。前と同様に両辺を2乗します。

\begin{eqnarray} \sqrt{8-2\sqrt{15}} &=& \sqrt{a}-\sqrt{b} \\
\left( \sqrt{8-2\sqrt{15}} \right) ^2&=& \left( \sqrt{a}-\sqrt{b}\right) ^2\\
8-2\sqrt{15}&=& a+b-2\sqrt{ab} \end{eqnarray}

やはり、\(a+b=8\)と\(ab=15\)を満たすa,bを見つける必要があり、\(a=5,\ b=3\)で答えは、

\(\sqrt{5}-\sqrt{3}\)となります。

注意点

根号の中がマイナスの場合は注意点があります。

数学では根号の中は基本的に正でなければなりません。(複素数は除きます。)
そのため、

\(\sqrt{8-2\sqrt{15}} = \sqrt{a}-\sqrt{b}\)の場合、
\(a>b\)である必要があります。

練習問題

練習問題2

二重根号を外しなさい。

(1)\(\sqrt{7-2\sqrt{10}}\)

(2)\(\sqrt{5-2\sqrt{6}}\)

解答と解説

(1)\(\sqrt{5}-\sqrt{2}\)

解説:\(\sqrt{7-2\sqrt{10}}\)なので、足して\(7\)、掛けて\(10\)になる数を探せば良いので、\(2\)と\(5\)の組み合わせになります。そして大きい方を先に書いて\(\sqrt{5}-\sqrt{2}\)です。

(2)\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)

解説:\(\sqrt{5-2\sqrt{6}}\)なので、足して\(5\)、掛けて\(6\)になる数を探せば良いので、\(3\)と\(2\)の組み合わせになります。そして大きい方を先に書いて\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)です。

二重根号の中に2がない時のやり方

では、二重根号の中に\(2\)がない場合の計算のやり方を考えます。

2をつけて外すやり方

問題

\(\sqrt{5+\sqrt{21}}\)の二重根号を外しなさい。

今までのように\(\sqrt{21}\)の前に\(2\)がないので、今までの方法が使えません。

では、どうするか。

\(\sqrt{21}\)の前に無理矢理\(2\)を置きます。

\begin{eqnarray} \sqrt{5+\sqrt{21}} &=&\sqrt{\displaystyle \frac{10+2\sqrt{21}}{2}} \\
&=& \displaystyle \frac{\sqrt{10+2\sqrt{21}} }{\sqrt{2}} \end{eqnarray}

ここから分子の二重根号を外します。足して\(10\)、掛けて\(21\)になればいいので、\(7\)と\(3\)の組み合わせになります。

\begin{eqnarray} \sqrt{5+\sqrt{21}} &=& \displaystyle \frac{\sqrt{10+2\sqrt{21}} }{\sqrt{2}} \\
&=& \displaystyle \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\
&=& \displaystyle \frac{\sqrt{14}+\sqrt{6}}{2} \end{eqnarray}

最後に分母を有理化しています。
有理化については下記の記事が参考になります!

>>有理化の詳しい解説<<

練習問題

練習問題3

二重根号を外しなさい。

(1)\(\sqrt{6+\sqrt{35}}\)

解答と解説

(1)\(\displaystyle \frac{\sqrt{14}+\sqrt{10}}{2}\)

解説:\(\sqrt{35}\)の前に\(2\)を付けると、\(\sqrt{12+2\sqrt{35}}\)が出てくるので、足して\(12\)、掛けて\(35\)を探して、\(7\)と\(5\)だと分かります。最後に有理化をすればOKです。

\begin{eqnarray} \sqrt{6+\sqrt{35}} &=& \displaystyle \frac{\sqrt{12+2\sqrt{35}}}{\sqrt{2}} \\ &=& \displaystyle \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\\&=& \displaystyle \frac{\sqrt{14}+\sqrt{10}}{2} \end{eqnarray}

二重根号が外せない判定

二重根号を毎回都合よく外せるとは限りません。
そのため、二重根号を外せるかどうかを判定する方法を解説します。

外せない判定のやり方

\(A\pm 2\sqrt{B}\)だと、足して\(A\)、掛けて\(B\)になる数を探すのですが、都合のいい数がない場合があります。

判定方法は\(A^2-4B\)を計算して結果が平方数であれば二重根号を外すことが可能です。

例えば、\(\sqrt{8-2\sqrt{15}}\)の場合、(練習問題1の問題です。)
\(8^2-4\times15=64-60=4\)
\(4\)は平方数なので分解可能です。

一方で、例えば\(\sqrt{5-2\sqrt{5}}\)だと、
\(5^2-4\times5=25-20=5\)
\(5\)は平方数ではないので、二重根号は「外せない」となります。

二重根号まとめ

  • 二重根号を外すには二乗して計算が基本
  • 中に\(2\)がない場合は無理矢理つける
  • \(A^2-4B\)が平方数か調べれば二重根号を外せるかの判定が可能
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