円周角の定理と証明、中心角の求め方を詳しく解説!

今回は円周角の定理の証明と中心角の求め方です。

トムソン
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図形になると、突然数学が変わらなくなったよ・・・なんで、円周上で角度が同じになるの?

そんな質問をいただいて記事を作成しました!

数学が嫌いな人でも理解できるように、わかりやすく工学博士のトムソンが解説します。

トムソン
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まずは円周角の定理と使い方を解説して、最後に証明を解説します!

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円周角の定理とは|2つの意味

円周角の定理は大きく分けて2つあります。

  1. ある弧に対する円周角は、その弧に対する中心核の半分である
  2. ある弧に対する円周角は全て等しい

の2つです。1つずつゆっくり見ていきましょう。

円周角の定理|その1

その1は『ある弧に対する円周角は、その弧に対する中心核の半分である』です。

式にすると、

円周角中心角÷2

となります。

文字や式だけでなく図も見てみましょう。

中心角は「円上のある2点と、円の中心で出来た角」です。

図の青の線で表した角で、角を作る2本の線は両方とも半径になります!

円周角は「円上のある3点を結んでできる角」となります。

文字だと分かりにくいですが、図の赤い線といえば何となくわかるのではないでしょうか。

この赤い線で表した円周角は、青い線の中心角の半分となります。

つまり、

円周角中心角÷2

ただしこれが成り立つのは、同じ2点から線が出ている場合です。

下の図の場合だと、成り立ちません。

なぜなら、同じ2点(同じ弧)に対する円周角と中心角ではないからです。

円周角の定理|その1

円周角中心角÷2

円周角の定理|その2

円周角と中心角が分かったところで2つ目の定理です。

その2は『ある弧に対する円周角は全て等しい』です。

式で表すと、

円周角円周角

です。

こちらも、図も使って確認してみましょう。

この2つの円周角は同じ2点(同じ弧)と円周上の点で角を作っています。

つまり、2つとも『ある弧に対する円周角』なので大きさが等しくなります!

円周角の定理|その2

円周角円周角

円周角の定理を証明は3パターン!

円周角の定理を証明するためには、3つのパターンを証明する必要があります。

円周角の定理を証明するための3パターン

  1. 円周角の中に円の中心がある場合
  2. 円周角の外に円の中心がある場合
  3. 円周角を作る線が円の中心を通る場合

の3パターンです。図にしてみましょう。

ちょっと大変ですが、この3パターンを証明して初めて、円周角の定理を証明したことになります!

トムソン
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頑張って証明していきましょうー!

円周角の中に中心がある場合

証明には下の図を使います。ここで同じ色の印は同じ角度を表しています。

2つあるのは倍の大きさを表しています。例えば∠DOC∠DBCの2倍ってことです!

では証明に移りましょう!

まずは、BからOを通る線を補助線として引きます。点線の部分です。

すると△の部分が半径なので、同じ長さとなります。

$$AO=BO=CO$$

すると、\(△BOC\)と\(△AOB\)はどちらも二等辺三角形となります。

ここで\(△BOC\)を見てみましょう。

二等辺三角形の底角(\(∠OBCと∠BCO\))は等しいのでの角度は等しくなります。

三角形の内角の和は180度なので、\(∠BOC\)は(\(180\)–●-●)度となります。

直線も180度ですね。

つまり、\(∠COD\)の角度は()度になりますね。

同様に\(∠AOD\)は()度となるのです。

ここまで来るとあとは簡単!ACの円周角\(∠ABC\)は()度、

中心角\(∠AOC\)は()=2()度。

以上より、\(∠ABC=∠AOC\div2\)となります。

円周角の定理|その1が成り立っていますね!

円周角中心角÷2

証明完了です。

円周角の外に中心がある場合

2番目を見てみましょう。

少し複雑なので、しっかり見ていきましょう!とは言ってもとっても簡単ですので心配しないでください!

まずはBからOを通る直線を引いてDを作ります。先ほどの二等辺三角形の方法を思い出してください。△BOCを見てみましょう。

∠OBCを◻︎とすると、∠DOCは(◻︎+◻︎)となります。次に△AOBを考えます。

∠OABを●とすると∠AODは(●+●)となりますね!ここまで来たらあとは簡単!

  • 円周角=∠ABC=(●-◻︎)度
  • 中心角=∠AOC=〔(●+●)-(◻︎+◻︎)〕=2(●-◻︎)度

円周角中心角÷2

になりましたね!証明完了!

1本の線が中心を通る場合

あと1個です!もう少し頑張りましょう。

△OCBは二等辺三角形なので、∠OCB=∠OBC()です。

つまり∠AOB=●+です。よって

$$∠AOB=2∠ACB$$

となります!

円周角は全て等しいの証明

円周角の定理はもう1つありますね。ですがこの照明は超余裕ですので頑張りましょう!!

前提として、円周角と中心角の関係は証明完了しています。つまり

円周角中心角÷2

という式は使用可能です。素晴らしい。

この図の円周角2つはともに同じ中心角をもってます!そして繰り返しになりますが、以下の式は成り立ちます。

円周角中心角÷2

つまり、

円周角中心角÷2=(他の)円周角

となるので、証明完了です!

円周角の定理|まとめ

円周角と中心角をまとめましょう!

  1. 円周角=中心角÷2
  2. 円周角は全て同じ
  3. 円周角の定理の証明は二等辺三角形を使うと簡単
トムソン
トムソン

証明自体を使うことはほとんどありませんが、円周角の定理自体は非常に重要です!忘れないように覚えておきましょう〜!

お気軽にコメントください! 質問でも、なんでもどうぞ!

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