今回は数学が嫌いな人でも理解できるように、円周角の定理について工学博士が解説します。まずは定理を解説して、その証明を解説します！
円周角の定理は試験でも使うことが多いですよ！
※所要時間はざっと5分～10分。円周角を完全に理解できます！
円周角の定理
円周角の定理は大きく分けて2つあります。
- ある弧に対する円周角は、その弧に対する中心核の半分である
- ある弧に対する円周角は全て等しい
の2つです。1つずつゆっくり見ていきましょう。
ある弧に対する円周角は、その弧に対する中心核の半分である
下の図を見てみましょう。
中心角は「円上のある2点からと、円の中心で出来た角」です。つまり2本とも半径になりますね！
円周角は「円上のある3点を結んでできる角」となります。文字だと分かりにくいですが、図を見てもらえれば分かると思います。
定理に出てきた弧って言うのは円の一部のことです。上の図でいくと、2本の線が出ている2点を結んだ場所です。
この円周角は中心角の半分となります。ただし同じ2点から出ている場合です。下の図の場合だとこれは成り立ちません。
同じ2点（同じ弧）に対する円周角と中心角じゃないので、定理は成り立ちません！
この1つ目の定理を式にすると、こうなります。
円周角＝中心角÷２
文字でごちゃごちゃ書くと難しく感じますが、
式にするとかなりスッキリしますよね。
ある弧に対する円周角は全て等しい
円周角と中心角が分かったところで2つ目の定理です。
同じ2点（同じ弧）に対する円周角は全て等しいです。下の図を見てみましょう。
この２つの円周角は同じ2点（同じ弧）から出てきているので、等しくなります！
ここまで読んだあなたなら、理解は簡単じゃないかと思います！式にするまでもないですかね。
円周角の定理を証明は3パターン！
円周角の定理を証明する場合は3パターンに分かれます。
- 円周角の中に中心がある場合
- 円周角の外に中心がある場合
- 1本の線が中心を通る場合
の3パターンです。図にしてみましょう。
ちょっと大変ですが、この3パターンを証明して初めて証明したことになります！
頑張って証明してみよう！
円周角の中に中心がある場合
証明には下の図を使います。ここで同じ色の印は同じ角度を表しています。
２つあるのは倍の大きさを表しています。例えば∠DOCは∠DBCの2倍ってことです！
では証明に移りましょう！
まずは、BからOを通る線を補助線として引きます。点線の部分です。すると△の部分が半径なので、同じ長さとなります。
$$AO=BO=CO$$
すると、△BOCと△AOBはどちらも二等辺三角形となります。ここで△BOCを見てみましょう。
二等辺三角形の底角（∠OBCと∠BCO）は等しいので●の角度は等しくなります。三角形の内角の和は180度なので、∠BOCは（180–●-●）度となります。直線も180度ですね。
つまり、∠CODの角度は（●＋●）度になりますね。同様に∠AODは（●＋●）度となるのです。
ここまで来るとあとは簡単！ACの円周角∠ABCは（●＋●）度、
中心角∠AOCは（●＋●＋●＋●）＝2（●＋●）度。円周角の定理を思い出してみましょう。
円周角＝中心角÷２
成り立っていますね！証明完了です。
円周角の外に中心がある場合
2番目を見てみましょう。
少し複雑なので、しっかり見ていきましょう！とは言ってもとっても簡単ですので心配しないでください！
まずはBからOを通る直線を引いてDを作ります。先ほどの二等辺三角形の方法を思い出してください。△BOCを見てみましょう。
∠OBCを◻︎とすると、∠DOCは（◻︎＋◻︎）となります。次に△AOBを考えます。
∠OABを●とすると∠AODは（●＋●）となりますね！ここまで来たらあとは簡単！
- 円周角＝∠ABC＝（●-◻︎）度
- 中心角＝∠AOC＝〔（●＋●）-（◻︎＋◻︎）〕＝２（●-◻︎）度
円周角＝中心角÷２
になりましたね！証明完了！
1本の線が中心を通る場合
さて、最後です。良く頑張りました！偉い！
あと１個ですが、ここまで来たあなたなら超余裕ですのであと少し頑張りましょう。
△OCBは二等辺三角形なので、∠OCB=∠OBC（●）です。
つまり∠AOB=●＋●です。よって
$$∠AOB=2∠ACB$$
となります！
円周角は全て等しいの証明
円周角の定理はもう１つありますね。ですがこの照明は超余裕ですので頑張りましょう！！
前提として、円周角と中心角の関係は証明完了しています。つまり
円周角＝中心角÷２
という式は使用可能です。素晴らしい。
この図の円周角２つはともに同じ中心角をもってます！そして繰り返しになりますが、以下の式は成り立ちます。
円周角＝中心角÷２
つまり、
円周角＝中心角÷２＝（他の）円周角
となるので、証明完了です！
円周角の定理｜まとめ
円周角と中心角をまとめましょう！
- 円周角＝中心角÷２
- 円周角は全て同じ
- 円周角の定理の証明は二等辺三角形を使うと簡単
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