円周角の定理と証明、中心角の求め方を詳しく解説！

今回は円周角の定理の証明と中心角の求め方です。

トムソン

図形になると、突然数学が変わらなくなったよ・・・なんで、円周上で角度が同じになるの？

そんな質問をいただいて記事を作成しました！

数学が嫌いな人でも理解できるように、わかりやすく工学博士のトムソンが解説します。

トムソン

まずは円周角の定理と使い方を解説して、最後に証明を解説します！

円周角の定理とは｜２つの意味

円周角の定理は大きく分けて2つあります。

1. ある弧に対する円周角は、その弧に対する中心核の半分である
2. ある弧に対する円周角は全て等しい

の2つです。1つずつゆっくり見ていきましょう。

円周角の定理｜その１

その１は『ある弧に対する円周角は、その弧に対する中心核の半分である』です。

式にすると、

円周角＝中心角÷２

となります。

文字や式だけでなく図も見てみましょう。

中心角は「円上のある2点と、円の中心で出来た角」です。

図の青の線で表した角で、角を作る2本の線は両方とも半径になります！

円周角は「円上のある3点を結んでできる角」となります。

文字だと分かりにくいですが、図の赤い線といえば何となくわかるのではないでしょうか。

この赤い線で表した円周角は、青い線の中心角の半分となります。

つまり、

円周角＝中心角÷２

ただしこれが成り立つのは、同じ2点から線が出ている場合です。

下の図の場合だと、成り立ちません。

なぜなら、同じ2点（同じ弧）に対する円周角と中心角ではないからです。

円周角の定理｜その２

円周角と中心角が分かったところで2つ目の定理です。

その２は『ある弧に対する円周角は全て等しい』です。

式で表すと、

円周角＝円周角

です。

こちらも、図も使って確認してみましょう。

この２つの円周角は同じ2点（同じ弧）と円周上の点で角を作っています。

つまり、２つとも『ある弧に対する円周角』なので大きさが等しくなります！

円周角の定理を証明は3パターン！

円周角の定理を証明するためには、3つのパターンを証明する必要があります。

の3パターンです。図にしてみましょう。

ちょっと大変ですが、この3パターンを証明して初めて、円周角の定理を証明したことになります！

トムソン

頑張って証明していきましょうー！

円周角の中に中心がある場合

証明には下の図を使います。ここで同じ色の印は同じ角度を表しています。

２つあるのは倍の大きさを表しています。例えば∠DOCは∠DBCの2倍ってことです！

では証明に移りましょう！

まずは、BからOを通る線を補助線として引きます。点線の部分です。

すると△の部分が半径なので、同じ長さとなります。

$$AO=BO=CO$$

すると、\(△BOC\)と\(△AOB\)はどちらも二等辺三角形となります。

ここで\(△BOC\)を見てみましょう。

二等辺三角形の底角（\(∠OBCと∠BCO\)）は等しいので●の角度は等しくなります。

三角形の内角の和は180度なので、\(∠BOC\)は（\(180\)–●-●）度となります。

直線も180度ですね。

つまり、\(∠COD\)の角度は（●＋●）度になりますね。

同様に\(∠AOD\)は（●＋●）度となるのです。

ここまで来るとあとは簡単！ACの円周角\(∠ABC\)は（●＋●）度、

中心角\(∠AOC\)は（●＋●＋●＋●）＝2（●＋●）度。

以上より、\(∠ABC=∠AOC\div2\)となります。

円周角の定理｜その１が成り立っていますね！

円周角＝中心角÷２

証明完了です。

円周角の外に中心がある場合

2番目を見てみましょう。

少し複雑なので、しっかり見ていきましょう！とは言ってもとっても簡単ですので心配しないでください！

まずはBからOを通る直線を引いてDを作ります。先ほどの二等辺三角形の方法を思い出してください。△BOCを見てみましょう。

∠OBCを◻︎とすると、∠DOCは（◻︎＋◻︎）となります。次に△AOBを考えます。

∠OABを●とすると∠AODは（●＋●）となりますね！ここまで来たらあとは簡単！

• 円周角＝∠ABC＝（●-◻︎）度
• 中心角＝∠AOC＝〔（●＋●）-（◻︎＋◻︎）〕＝２（●-◻︎）度

円周角＝中心角÷２

になりましたね！証明完了！

1本の線が中心を通る場合

あと１個です！もう少し頑張りましょう。

△OCBは二等辺三角形なので、∠OCB=∠OBC（●）です。

つまり∠AOB=●＋●です。よって

$$∠AOB=2∠ACB$$

となります！

円周角は全て等しいの証明

円周角の定理はもう１つありますね。ですがこの照明は超余裕ですので頑張りましょう！！

前提として、円周角と中心角の関係は証明完了しています。つまり

円周角＝中心角÷２

という式は使用可能です。素晴らしい。

この図の円周角２つはともに同じ中心角をもってます！そして繰り返しになりますが、以下の式は成り立ちます。

円周角＝中心角÷２

つまり、

円周角＝中心角÷２＝（他の）円周角

となるので、証明完了です！

円周角の定理｜まとめ

円周角と中心角をまとめましょう！

1. 円周角＝中心角÷２
2. 円周角は全て同じ
3. 円周角の定理の証明は二等辺三角形を使うと簡単

トムソン

証明自体を使うことはほとんどありませんが、円周角の定理自体は非常に重要です！忘れないように覚えておきましょう〜！