今回は数学が嫌いな人でも理解できるように、円周角の定理について工学博士が解説します。まずは定理を解説して、その証明を解説します!

円周角の定理は試験でも使うことが多いですよ!
※所要時間はざっと5分~10分。円周角を完全に理解できます!
円周角の定理
円周角の定理は大きく分けて2つあります。
- ある弧に対する円周角は、その弧に対する中心核の半分である
- ある弧に対する円周角は全て等しい
の2つです。1つずつゆっくり見ていきましょう。
ある弧に対する円周角は、その弧に対する中心核の半分である
下の図を見てみましょう。
中心角は「円上のある2点からと、円の中心で出来た角」です。つまり2本とも半径になりますね!
円周角は「円上のある3点を結んでできる角」となります。文字だと分かりにくいですが、図を見てもらえれば分かると思います。
定理に出てきた弧って言うのは円の一部のことです。上の図でいくと、2本の線が出ている2点を結んだ場所です。
この円周角は中心角の半分となります。ただし同じ2点から出ている場合です。下の図の場合だとこれは成り立ちません。
同じ2点(同じ弧)に対する円周角と中心角じゃないので、定理は成り立ちません!
この1つ目の定理を式にすると、こうなります。
円周角=中心角÷2

文字でごちゃごちゃ書くと難しく感じますが、
式にするとかなりスッキリしますよね。
ある弧に対する円周角は全て等しい
円周角と中心角が分かったところで2つ目の定理です。
同じ2点(同じ弧)に対する円周角は全て等しいです。下の図を見てみましょう。
この2つの円周角は同じ2点(同じ弧)から出てきているので、等しくなります!
ここまで読んだあなたなら、理解は簡単じゃないかと思います!式にするまでもないですかね。
円周角の定理を証明は3パターン!
円周角の定理を証明する場合は3パターンに分かれます。
- 円周角の中に中心がある場合
- 円周角の外に中心がある場合
- 1本の線が中心を通る場合
の3パターンです。図にしてみましょう。
ちょっと大変ですが、この3パターンを証明して初めて証明したことになります!

頑張って証明してみよう!
円周角の中に中心がある場合
証明には下の図を使います。ここで同じ色の印は同じ角度を表しています。
2つあるのは倍の大きさを表しています。例えば∠DOCは∠DBCの2倍ってことです!
では証明に移りましょう!
まずは、BからOを通る線を補助線として引きます。点線の部分です。すると△の部分が半径なので、同じ長さとなります。
$$AO=BO=CO$$
すると、△BOCと△AOBはどちらも二等辺三角形となります。ここで△BOCを見てみましょう。
二等辺三角形の底角(∠OBCと∠BCO)は等しいので●の角度は等しくなります。三角形の内角の和は180度なので、∠BOCは(180–●-●)度となります。直線も180度ですね。
つまり、∠CODの角度は(●+●)度になりますね。同様に∠AODは(●+●)度となるのです。
ここまで来るとあとは簡単!ACの円周角∠ABCは(●+●)度、
中心角∠AOCは(●+●+●+●)=2(●+●)度。円周角の定理を思い出してみましょう。
円周角=中心角÷2
成り立っていますね!証明完了です。
円周角の外に中心がある場合
2番目を見てみましょう。
少し複雑なので、しっかり見ていきましょう!とは言ってもとっても簡単ですので心配しないでください!
まずはBからOを通る直線を引いてDを作ります。先ほどの二等辺三角形の方法を思い出してください。△BOCを見てみましょう。
∠OBCを◻︎とすると、∠DOCは(◻︎+◻︎)となります。次に△AOBを考えます。
∠OABを●とすると∠AODは(●+●)となりますね!ここまで来たらあとは簡単!
- 円周角=∠ABC=(●-◻︎)度
- 中心角=∠AOC=〔(●+●)-(◻︎+◻︎)〕=2(●-◻︎)度
円周角=中心角÷2
になりましたね!証明完了!
1本の線が中心を通る場合

さて、最後です。良く頑張りました!偉い!
あと1個ですが、ここまで来たあなたなら超余裕ですのであと少し頑張りましょう。
△OCBは二等辺三角形なので、∠OCB=∠OBC(●)です。
つまり∠AOB=●+●です。よって
$$∠AOB=2∠ACB$$
となります!
円周角は全て等しいの証明
円周角の定理はもう1つありますね。ですがこの照明は超余裕ですので頑張りましょう!!
前提として、円周角と中心角の関係は証明完了しています。つまり
円周角=中心角÷2
という式は使用可能です。素晴らしい。
この図の円周角2つはともに同じ中心角をもってます!そして繰り返しになりますが、以下の式は成り立ちます。
円周角=中心角÷2
つまり、
円周角=中心角÷2=(他の)円周角
となるので、証明完了です!
円周角の定理|まとめ
円周角と中心角をまとめましょう!
- 円周角=中心角÷2
- 円周角は全て同じ
- 円周角の定理の証明は二等辺三角形を使うと簡単
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