【常用対数】最高位の求め方・豊富な例題

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常用対数とは底が\(10\)の対数のことです。常用対数は使う場面が結構多く、参考書の最後には\(1.00~9.99\)常用対数の表が付いていたりします。

【例】
\(\log_{10}2=0.3010\)
\(\log_{10}3=0.4771\)    など

当サイトにも準備してますよ。<常用対数の表(1.01~9.99)>

 

 

このページでは、常用対数を使いこなすための解説を、豊富な例題と共に準備しました。【最高位】の求め方の解説もありますよ!

理系の博士
理系の博士

常用対数は数学以外でも使うから知っておいて損はないですよー!今のうちに理解しちゃいましょう。

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常用対数を使って値を求める

まずは常用対数を使って値を求めてみましょう。

例題1\((1)\log_{10}5, (2)\log_{2}5\) の値を求めよ。
ただし、\(\log_{10}2=0.3010\)とする。

(1)\(\log_{10}5\)

答え:\(0.6990\)

$$\begin{eqnarray}
\log_{10}5 &=& \log_{10}\frac{10}{2}\\
&=& \log_{10}10-\log_{10}2\\
&=& 1-0.3010\\
&=& 0.6990
\end{eqnarray}$$

$$\log_{10}\frac{10}{2}=\log_{10}10-\log_{10}2$$

この変形は対数の性質を使った変形です!
$$\log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N$$

<対数の性質の詳しい解説>

(2)\(\log_{2}5\)

$$\begin{eqnarray}
\log_25 &=& \frac{\log_{10}5}{\log_{10}2}\\
&=&\frac{0.6990}{0.3010}\\
&=&2.322\\
\end{eqnarray}$$$$\log_25=\frac{\log_{10}5}{\log_{10}2}$$

この変形では、底の交換公式を使っているよ!
\(a=2, b=5, c=10\)です!

底の交換公式$$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$$

但し、\(a, b, c\)が正の数で\(a\neq1, c\neq1\)
<【底の交換公式】証明と使い方を解説!>

この様に\(\log_{2}5\)など、底が\(2\)だったりする中途半端な対数でも、常用対数に変換すれば値を求めることができます。

理系の博士
理系の博士

次は常用対数を使った【桁数】の求め方です!

常用対数を使って桁数を求める

次に常用対数を使って桁数を求めましょう!

例題2\(2^{50}\)の桁数を求めよ。
ただし、\(\log_{10}=0.3010\)とする。

答え:\(16\)桁

ちなみに\(2^{50}\)は
\(2^{50}=1,125,899,906,842,624\)
です!

理系の博士
理系の博士

この桁数を常用対数を使って求めていきます。

\(2^{50}\)の常用対数を取ります。

$$\begin{eqnarray}
\log_{10}2^{50} &=& 50\log_{10}2\\
&=& 50\times0.3010\\
&=& 15.05\\ \end{eqnarray}$$

となります。つまり、\(2^{50}\)は

\(2^{50}=10^{15.05}\)となります。よって答えは\(16\)桁です!

 

ヒント(解説の補足)

\(10^1=10\)なら\(2\)桁、同様に\(10^{5}\)なら\(6\)桁、\(10^{80}\)なら\(81\)桁です。

 

中途半端な場合(\(12.3, 81.2\)など)は切り上げます。

\(12.3\)なら\(13\)桁、\(81.2\)なら\(82\)桁と言った具合です。

常用対数を使って最高位を求める!

最高位とは?

まず最高位ですが、”一番上の桁の数”です!

【例】
\(2378\rightarrow2\)
\(65432198\rightarrow6\)
\(9875463\rightarrow9\)

といった感じです。

最高位を求める

例題3\(3^{10}\)の最高位と桁数を求めよ。
ただし、\(\log_{10}3=0.4771\)
\(\log_{10}5=0.6990\)
\(\log_{10}6=0.7782\)とする。

答え:\(5\)桁、最高位\(5\)

\(3^{10}\)の常用対数を取ります!

$$\begin{eqnarray}
\log_{10}3^{10} &=& 10\log_{10}3\\
&=& 10\times 0.4771\\
&=& 4.771\end{eqnarray}$$

つまり、\(3^{10}=10^{4.771}\)ってことです。ここまでで桁数が出ましたね。

 

これをもう少し分解します。

$$\begin{eqnarray} (3^{10}&=&10^{4.771}\\
&=& 10^4\times10^{0.771}\\
\end{eqnarray}$$

ここで、

\(\log_{10}5=0.6990\)
\(\log_{10}6=0.7782\)

でしたね。つまり,

\(5<10^{0.771}<6\)なので、

最高位は\(5\)となります!

 

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