今回は、cos 1° = 0.999847…を電卓で計算するやり方について説明します。
三角関数表の中のコサイン(cos)の表に着目して、値の求め方を紹介していきます。
コサインの表とは下のような表のことです。
角度 | 値 | 角度 | 値 |
---|---|---|---|
cos1° | 0.999847 | cos2° | 0.99939 |
cos3° | 0.998629 | cos4° | 0.997564 |
・・・ | ・・・ | ||
cos30° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | cos45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
cos60° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | cos90° | 0 |
数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
このページでは、cos1°の求め方説明です。
$$\cos 1°=0.999847…$$
10位までcos 1°を調べる
初めに、cos 1°を10桁表してみましょう!$$\cos 1° = 0.9998476951 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
cos1°の値を解く
三角関数表を活用せずにcos1°の値を算出するやり方はとても複雑なものを除けば3つあります。
1の手法は、定規を使うため正確な値を算出できず、求まる値は近似値になります。
2のやり方だと、計算がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を説明します。
マクローリン展開でcos1°を求める
マクローリン展開から、下記の式で\(\cos x\)を計算することができます。
$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)から\(\cos x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かればOKですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 1°$$
この式を計算すると、
$弧度法=0.017453…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 1°\)を求められます。
$$\cos 1° = 0.999847…$$
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