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三角関数表のコサインの表におけるcos1°を導出する

今回は、cos 1° = 0.999847…を電卓で計算するやり方について説明します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に着目して、値の求め方を紹介していきます。

コサインの表とは下のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
このページでは、cos1°の求め方説明です。

$$\cos 1°=0.999847…$$

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10位までcos 1°を調べる

初めに、cos 1°を10桁表してみましょう!$$\cos 1° = 0.9998476951 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos1°の値を解く

三角関数表を活用せずにcos1°の値を算出するやり方はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を使用して1°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を駆使して計算する
  3. マクローリン展開を活用して解く

1の手法は、定規を使うため正確な値を算出できず、求まる値は近似値になります。

2のやり方だと、計算がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を説明します。

マクローリン展開でcos1°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\cos x\)を計算することができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)から\(\cos x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 1°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.017453…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 1°\)を求められます。

$$\cos 1° = 0.999847…$$

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