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三角関数表のコサインの表におけるcos10°の導出

このページでは、cos 10° = 0.984807…を求める処理方法について明らかにしていきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に光を当てて、値の求め方を解説していきます。

コサインの表とはこのような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
このページでは、cos10°の計算の仕方説明です。

$$\cos 10°=0.984807…$$

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10桁のcos 10°を表す

早速ですが、cos 10°を10桁確認してみましょう!$$\cos 10° = 0.984807753 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos10°の値を算出する

三角関数表を使用せずにcos10°の値を算出する方法は大きく3つあります。

  1. 分度器を活用して10°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を使って計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、求まる値は近似値になります。

2の方法だと、途中の計算が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を解説します。

マクローリン展開でcos10°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\cos x\)を算出することができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)によって、\(\cos x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 10°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.174532…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 10°\)を求められます。

$$\cos 10° = 0.984807…$$

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