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三角関数表のコサインの表におけるcos101°の導出

今回は、cos 101° = -0.190809…を三角関数表を使わずに求める手法について説明します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に光を当てて、値の求め方を紹介していきます。

コサインの表とは下のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

教科書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
本解説では、cos101°の求め方説明です。

$$\cos 101°=-0.190809…$$

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10桁のcos 101°を調べる

早速ですが、cos 101°を10桁表してみましょう!$$\cos 101° = -0.1908089954 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos101°の値を明らかにする

三角関数表を参照せずにcos101°の値を計算する手法はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を活用して101°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を使って計算する
  3. マクローリン展開に弧度法の角度を代入して求める

1の方法は、定規を使うため正確な値を計算できず、求まる値は近似値になります。

2の方法だと、計算過程がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を説明します。

マクローリン展開でcos101°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\cos x\)を明らかにすることができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)によって、\(\cos x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 101°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.762782…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 101°\)を求められます。

$$\cos 101° = -0.190809…$$

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