三角関数表のコサインの表におけるcos104°を解く

本解説では、cos 104° = -0.241922…を求める仕方について明らかにしていきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に光を当てて、値の算出方法を紹介していきます。

コサインの表とは下のような表のことです。

角度	値	角度	値
cos1°	0.999847	cos2°	0.99939
cos3°	0.998629	cos4°	0.997564
・・・		・・・
cos30°	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	cos45°	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°	$\displaystyle \frac{1}{2}$	cos90°	0

数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
今回は、cos104°の計算方法説明です。

$$\cos 104°=-0.241922…$$

cos 104°を10桁書いてみる

唐突ではありますが、cos 104°を10桁調べてみましょう！$$\cos 104° = -0.2419218956 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos104°の値を解く

三角関数表を活用せずにcos104°の値を算出する手法はとても複雑なものを除けば3つあります。

1の手法は、定規を使うため正確な値を求められず、答えは近似値になります。

2のやり方だと、計算過程が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を紹介します。

マクローリン展開でcos104°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\cos x\)を計算することができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を使うと\(\cos x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開って何？って人だったとしても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 104°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.815142…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 104°\)を求められます。

$$\cos 104° = -0.241922…$$