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三角関数表のコサインの表におけるcos109°を導出する

この記事では、cos 109° = -0.325569…を算出する処理方法について明らかにしていきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に着目して、値の計算方法を説明していきます。

コサインの表とはこのような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
本解説では、cos109°の計算の仕方説明です。

$$\cos 109°=-0.325569…$$

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cos 109°を10桁確認

早速ですが、cos 109°を10桁表してみましょう!$$\cos 109° = -0.3255681545 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos109°の値を計算する

三角関数表を確認せずにcos109°の値を算出する方法はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を使って109°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を駆使して計算する
  3. マクローリン展開を活用して解く

1のやり方は、定規を使うため正確な値を算出できず、出てくる値は近似値になります。

2の手法だと、導出が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を説明します。

マクローリン展開でcos109°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\cos x\)を解くことができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を使うと\(\cos x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 109°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.902408…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 109°\)を求められます。

$$\cos 109° = -0.325569…$$

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