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三角関数表のコサインの表におけるcos110°の解き方

それでは、cos 110° = -0.342021…を三角関数表を使わずに求める処理方法について明らかにしていきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に着目して、値の計算の仕方を紹介していきます。

コサインの表とは下のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
この記事では、cos110°の求め方説明です。

$$\cos 110°=-0.342021…$$

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10桁のcos 110°を書いてみる

最初に、cos 110°を10桁確認してみましょう!$$\cos 110° = -0.3420201434 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos110°の値を求める

三角関数表を活用せずにcos110°の値を求める手法は大きく3つあります。

  1. 分度器を使って110°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を駆使して計算する
  3. マクローリン展開に値を代入して解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を算出できず、求まる値は近似値になります。

2の手法だと、計算過程が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を紹介します。

マクローリン展開でcos110°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\cos x\)を算出することができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)から\(\cos x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 110°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.919862…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 110°\)を求められます。

$$\cos 110° = -0.342021…$$

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