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三角関数表のコサインの表におけるcos111°の計算方法

このページでは、cos 111° = -0.358368…を求める手法について解き明かしていきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に焦点を絞って、値の求める方法を解説していきます。

コサインの表とは下のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
このページでは、cos111°の計算方法説明です。

$$\cos 111°=-0.358368…$$

目次

cos 111° を10桁表す

まずは、cos 111°を10桁表してみましょう!$$\cos 111° = -0.3583679496 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos111°の値を算出する

三角関数表を活用せずにcos111°の値を計算する手法はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を使って111°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を駆使して計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1のやり方は、定規を使うため正確な値を算出できず、出てくる値は近似値になります。

2の方法だと、途中の計算がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を説明します。

マクローリン展開でcos111°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\cos x\)を計算することができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を代入すると\(\cos x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 111°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.937315…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 111°\)を求められます。

$$\cos 111° = -0.358368…$$

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