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三角関数表のコサインの表におけるcos112°の導出

今回は、cos 112° = -0.374607…を計算するやり方について解説していきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に注目して、値の求める方法を説明していきます。

コサインの表とは下記のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
この記事では、cos112°の求め方解説です。

$$\cos 112°=-0.374607…$$

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10桁のcos 112°を書いてみる

最初に、cos 112°を10桁書いてみましょう!$$\cos 112° = -0.3746065935 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos112°の値を明らかにする

三角関数表を参照せずにcos112°の値を求める方法はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を使って112°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を使って計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1の手法は、定規を使うため正確な値を算出できず、答えは近似値になります。

2の手法だと、途中の計算がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を紹介します。

マクローリン展開でcos112°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\cos x\)を計算することができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)が分かれば\(\cos x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開って何?って人だったとしても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 112°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.954768…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 112°\)を求められます。

$$\cos 112° = -0.374607…$$

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