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三角関数表のコサインの表におけるcos114°の求め方

この記事では、cos 114° = -0.406737…を算出する方法について解き明かしていきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に焦点を絞って、値の求め方を説明していきます。

コサインの表とは下記のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
今回は、cos114°の求め方解説です。

$$\cos 114°=-0.406737…$$

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cos 114° を10桁書いてみる

初めに、cos 114°を10桁表してみましょう!$$\cos 114° = -0.4067366431 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos114°の値を計算する

三角関数表を使わずにcos114°の値を求める方法は3つあります。

  1. 分度器用いて114°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を活用して計算する
  3. マクローリン展開を活用して解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を計算できず、出てくる値は近似値になります。

2のやり方だと、途中の計算が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を紹介します。

マクローリン展開でcos114°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\cos x\)を明らかにすることができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を使うと\(\cos x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 114°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.989675…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 114°\)を求められます。

$$\cos 114° = -0.406737…$$

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