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三角関数表のコサインの表におけるcos115°の計算方法

本解説では、cos 115° = -0.422619…を電卓で計算する手法について説明します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表について、値の求め方を明らかにしていきます。

コサインの表とは下のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

教科書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
今回は、cos115°の計算の仕方説明です。

$$\cos 115°=-0.422619…$$

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cos 115°を10桁書いてみる

唐突ではありますが、cos 115°を10桁確認してみましょう!$$\cos 115° = -0.4226182618 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos115°の値を求める

三角関数表を参照せずにcos115°の値を計算する方法はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を使用して115°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開に値を代入して解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を求められず、答えは近似値になります。

2の方法だと、導出過程が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を説明します。

マクローリン展開でcos115°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\cos x\)を計算することができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)から\(\cos x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開って何?って人だったとしても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 115°$$

この式を計算すると、
$弧度法=2.007128…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 115°\)を求められます。

$$\cos 115° = -0.422619…$$

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