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三角関数表のコサインの表におけるcos12°の導出

今回は、cos 12° = 0.978147…を求める手法について解説していきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に焦点を絞って、値の求め方を明らかにしていきます。

コサインの表とは下記のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
このページでは、cos12°の求め方説明です。

$$\cos 12°=0.978147…$$

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10桁のcos 12°を表す

早速ですが、cos 12°を10桁確認してみましょう!$$\cos 12° = 0.9781476007 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos12°の値を求める

三角関数表を確認せずにcos12°の値を求める方法はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を使って12°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を駆使して計算する
  3. マクローリン展開を活用して解く

1のやり方は、定規を使うため正確な値を算出できず、答えは近似値になります。

2のやり方だと、計算が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を解説します。

マクローリン展開でcos12°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\cos x\)を解くことができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)が分かれば\(\cos x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 12°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.209439…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 12°\)を求められます。

$$\cos 12° = 0.978147…$$

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