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三角関数表のコサインの表におけるcos121°を解く

それでは、cos 121° = -0.515039…を計算する手法について解き明かしていきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に着目して、値の求め方を解説していきます。

コサインの表とは下記のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
本解説では、cos121°の算出方法紹介です。

$$\cos 121°=-0.515039…$$

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cos 121° を10桁表す

まずは、cos 121°を10桁調べてみましょう!$$\cos 121° = -0.515038075 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos121°の値を算出する

三角関数表を確認せずにcos121°の値を解く方法は大きく3つあります。

  1. 分度器を使用して121°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を活用して計算する
  3. マクローリン展開に弧度法の角度を代入して求める

1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、求まる値は近似値になります。

2の手法だと、導出がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開でcos121°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\cos x\)を求めることができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)から\(\cos x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開って何?って人だったとしても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 121°$$

この式を計算すると、
$弧度法=2.111848…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 121°\)を求められます。

$$\cos 121° = -0.515039…$$

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