本解説では、cos 126° = -0.587786…を算出する手法について明らかにしていきます。
三角関数表の中のコサイン(cos)の表について、値の求め方を明らかにしていきます。
コサインの表とは下記のような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| cos1° | 0.999847 | cos2° | 0.99939 |
| cos3° | 0.998629 | cos4° | 0.997564 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| cos30° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | cos45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| cos60° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | cos90° | 0 |
数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
本解説では、cos126°の算出方法解説です。
$$\cos 126°=-0.587786…$$
cos 126° を10桁表す
初めに、cos 126°を10桁書いてみましょう！$$\cos 126° = -0.5877852523 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
cos126°の値を求める
三角関数表を確認せずにcos126°の値を解くやり方は大きく3つあります。
1の手法は、定規を使うため正確な値を算出できず、出てくる値は近似値になります。
2の方法だと、計算がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。
マクローリン展開でcos126°を求める
マクローリン展開から、下記の式で\(\cos x\)を求めることができます。
$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)によって、\(\cos x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 126°$$
この式を計算すると、
$弧度法=2.199114…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 126°\)を求められます。
$$\cos 126° = -0.587786…$$
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