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三角関数表のコサインの表におけるcos127°を導出する

このページでは、cos 127° = -0.601816…を算出する仕方について共有します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表について、値の求める方法を解説していきます。

コサインの表とは下記のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
このページでは、cos127°の算出方法紹介です。

$$\cos 127°=-0.601816…$$

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10位までcos 127°を表す

早速ですが、cos 127°を10桁調べてみましょう!$$\cos 127° = -0.6018150232 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos127°の値を算出する

三角関数表を使用せずにcos127°の値を算出するやり方は3つあります。

  1. 分度器を使って127°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を使って計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を求められず、答えは近似値になります。

2の方法だと、計算過程が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を説明します。

マクローリン展開でcos127°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\cos x\)を明らかにすることができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を使うと\(\cos x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開って何?って人だったとしても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 127°$$

この式を計算すると、
$弧度法=2.216568…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 127°\)を求められます。

$$\cos 127° = -0.601816…$$

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