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三角関数表のコサインの表におけるcos131°を解く

それでは、cos 131° = -0.65606…を三角関数表を使わずに求める処理方法について解き明かしていきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に焦点を絞って、値の計算の仕方を解説していきます。

コサインの表とはこのような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
このページでは、cos131°の求める方法紹介です。

$$\cos 131°=-0.65606…$$

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10位までcos 131°を調べる

早速ですが、cos 131°を10桁書いてみましょう!$$\cos 131° = -0.656059029 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos131°の値を求める

三角関数表を確認せずにcos131°の値を解くやり方は大きく3つあります。

  1. 分度器用いて131°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開に値を代入して解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を求められず、求まる値は近似値になります。

2の手法だと、途中の計算が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開でcos131°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\cos x\)を明らかにすることができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)が分かれば\(\cos x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 131°$$

この式を計算すると、
$弧度法=2.286381…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 131°\)を求められます。

$$\cos 131° = -0.65606…$$

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