それでは、cos 132° = -0.669131…を三角関数表を使わずに求める仕方について共有します。
三角関数表の中のコサイン(cos)の表に着目して、値の求め方を明らかにしていきます。
コサインの表とは下記のような表のことです。
角度 | 値 | 角度 | 値 |
---|---|---|---|
cos1° | 0.999847 | cos2° | 0.99939 |
cos3° | 0.998629 | cos4° | 0.997564 |
・・・ | ・・・ | ||
cos30° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | cos45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
cos60° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | cos90° | 0 |
参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
本解説では、cos132°の算出方法説明です。
$$\cos 132°=-0.669131…$$
10位までcos 132°を書いてみる
早速ですが、cos 132°を10桁表してみましょう!$$\cos 132° = -0.6691306064 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
cos132°の値を求める
三角関数表を使用せずにcos132°の値を算出するやり方はとても複雑なものを除けば3つあります。
1の方法は、定規を使うため正確な値を計算できず、答えは近似値になります。
2の方法だと、導出過程がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を説明します。
マクローリン展開でcos132°を求める
マクローリン展開より、下記の式で\(\cos x\)を算出することができます。
$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を使うと\(\cos x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば問題ないですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 132°$$
この式を計算すると、
$弧度法=2.303834…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 132°\)を求められます。
$$\cos 132° = -0.669131…$$
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