三角関数表のコサインの表におけるcos135°の解き方

この記事では、cos 135° = -0.707107…を算出するやり方について共有します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に光を当てて、値の計算の仕方を解説していきます。

コサインの表とは下記のような表のことです。

角度	値	角度	値
cos1°	0.999847	cos2°	0.99939
cos3°	0.998629	cos4°	0.997564
・・・		・・・
cos30°	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	cos45°	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°	$\displaystyle \frac{1}{2}$	cos90°	0

教科書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
本解説では、cos135°の求める方法解説です。

$$\cos 135°=-0.707107…$$

cos 135°を10桁確認

初めに、cos 135°を10桁表してみましょう！$$\cos 135° = -0.7071067812 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos135°の値を解く

三角関数表を活用せずにcos135°の値を算出する方法はとても複雑なものを除けば3つあります。

1のやり方は、定規を使うため正確な値を算出できず、答えは近似値になります。

2の手法だと、導出過程が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を説明します。

マクローリン展開でcos135°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\cos x\)を明らかにすることができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を代入すると\(\cos x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 135°$$

この式を計算すると、
$弧度法=2.356194…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 135°\)を求められます。

$$\cos 135° = -0.707107…$$