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三角関数表のコサインの表におけるcos14°の計算方法

本解説では、cos 14° = 0.970295…を三角関数表を使わずに求める方法について説明します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に焦点を絞って、値の算出方法を紹介していきます。

コサインの表とは下のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

教科書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
本解説では、cos14°の計算の仕方紹介です。

$$\cos 14°=0.970295…$$

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cos 14°を10桁書いてみる

初めに、cos 14°を10桁確認してみましょう!$$\cos 14° = 0.9702957262 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos14°の値を計算する

三角関数表を使わずにcos14°の値を計算するやり方は大きく3つあります。

  1. 分度器用いて14°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を使って計算する
  3. マクローリン展開に弧度法の角度を代入して求める

1の手法は、定規を使うため正確な値を算出できず、求まる値は近似値になります。

2の手法だと、計算過程がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を説明します。

マクローリン展開でcos14°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\cos x\)を解くことができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)が分かれば\(\cos x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 14°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.244346…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 14°\)を求められます。

$$\cos 14° = 0.970295…$$

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