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三角関数表のコサインの表におけるcos140°を簡単導出!

このページでは、cos 140° = -0.766045…を計算する処理方法について説明します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表について、値の求め方を明らかにしていきます。

コサインの表とは下のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

教科書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
本解説では、cos140°の算出方法解説です。

$$\cos 140°=-0.766045…$$

目次

10桁のcos 140°を書いてみる

まずは、cos 140°を10桁表してみましょう!$$\cos 140° = -0.7660444432 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos140°の値を計算する

三角関数表を使わずにcos140°の値を解く手法はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を活用して140°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開に弧度法の角度を代入して求める

1のやり方は、定規を使うため正確な値を計算できず、出てくる値は近似値になります。

2のやり方だと、導出がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を紹介します。

マクローリン展開でcos140°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\cos x\)を明らかにすることができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を代入すると\(\cos x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開って何?って人だったとしても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 140°$$

この式を計算すると、
$弧度法=2.44346…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 140°\)を求められます。

$$\cos 140° = -0.766045…$$

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