三角関数表のコサインの表におけるcos142°の導出

今回は、cos 142° = -0.788011…を算出する仕方について共有します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に着目して、値の計算の仕方を明らかにしていきます。

コサインの表とは下のような表のことです。

参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
本解説では、cos142°の算出方法解説です。

$$\cos 142°=-0.788011…$$

cos 142° を10桁表す

唐突ではありますが、cos 142°を10桁調べてみましょう！$$\cos 142° = -0.7880107537 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

三角関数表を使用せずにcos142°の値を計算する手法はとても複雑なものを除けば3つあります。

1の方法は、定規を使うため正確な値を算出できず、求まる値は近似値になります。

2の手法だと、計算過程がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を解説します。

マクローリン展開から、下記の式で$\cos x$を明らかにすることができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、$\cos x$の$x$を使うと$\cos x$の値を求めることができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。

ただし注意点として$x$には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 142°$$

この式を計算すると、
$弧度法=2.478367…$となります。

この値をマクローリン展開の$x$に代入すると、$\cos 142°$を求められます。

$$\cos 142° = -0.788011…$$