三角関数表のコサインの表におけるcos144°の導出

このページでは、cos 144° = -0.809017…を算出する仕方について説明します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に焦点を絞って、値の算出方法を紹介していきます。

コサインの表とは下記のような表のことです。

教科書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
本解説では、cos144°の計算方法解説です。

$$\cos 144°=-0.809017…$$

10桁のcos 144°を表す

まずは、cos 144°を10桁確認してみましょう！$$\cos 144° = -0.8090169944 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

三角関数表を活用せずにcos144°の値を解く手法は3つあります。

1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、答えは近似値になります。

2の手法だと、途中の計算が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を説明します。

マクローリン展開から、下記の式で$\cos x$を明らかにすることができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、$\cos x$の$x$から$\cos x$の値を計算することができるのです。
マクローリン展開って何？って人だったとしても、式だけ分かればOKですよ。

ただし注意点として$x$には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 144°$$

この式を計算すると、
$弧度法=2.513274…$となります。

この値をマクローリン展開の$x$に代入すると、$\cos 144°$を求められます。

$$\cos 144° = -0.809017…$$