それでは、cos 145° = -0.819153…を算出する方法について明らかにしていきます。
三角関数表の中のコサイン(cos)の表に注目して、値の算出方法を明らかにしていきます。
コサインの表とは下のような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| cos1° | 0.999847 | cos2° | 0.99939 |
| cos3° | 0.998629 | cos4° | 0.997564 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| cos30° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | cos45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| cos60° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | cos90° | 0 |
数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
本解説では、cos145°の求め方説明です。
$$\cos 145°=-0.819153…$$
cos 145° を10桁書いてみる
初めに、cos 145°を10桁確認してみましょう！$$\cos 145° = -0.8191520443 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
cos145°の値を解く
三角関数表を確認せずにcos145°の値を解く手法は比較的に簡単に求められるものが3つあります。
1の方法は、定規を使うため正確な値を求められず、求まる値は近似値になります。
2の手法だと、導出がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を解説します。
マクローリン展開でcos145°を求める
マクローリン展開を使うと下記の式で\(\cos x\)を算出することができます。
$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を代入すると\(\cos x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かればOKですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 145°$$
この式を計算すると、
$弧度法=2.530727…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 145°\)を求められます。
$$\cos 145° = -0.819153…$$
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