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三角関数表のコサインの表におけるcos15°を求める方法

この記事では、cos 15° = 0.965925…を求める処理方法について解説していきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に着目して、値の計算方法を明らかにしていきます。

コサインの表とは下記のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
この記事では、cos15°の求める方法解説です。

$$\cos 15°=0.965925…$$

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cos 15° を10桁確認

最初に、cos 15°を10桁書いてみましょう!$$\cos 15° = 0.9659258262 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos15°の値を計算する

三角関数表を確認せずにcos15°の値を算出する手法は大きく3つあります。

  1. 分度器用いて15°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を駆使して計算する
  3. マクローリン展開に値を代入して解く

1の手法は、定規を使うため正確な値を求められず、出てくる値は近似値になります。

2のやり方だと、導出過程が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を紹介します。

マクローリン展開でcos15°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\cos x\)を計算することができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)によって、\(\cos x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開って何?って人だったとしても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 15°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.261799…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 15°\)を求められます。

$$\cos 15° = 0.965925…$$

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