今回は、cos 156° = -0.913546…を計算する手法について共有します。
三角関数表の中のコサイン(cos)の表に焦点を絞って、値の求める方法を明らかにしていきます。
コサインの表とはこのような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| cos1° | 0.999847 | cos2° | 0.99939 |
| cos3° | 0.998629 | cos4° | 0.997564 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| cos30° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | cos45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| cos60° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | cos90° | 0 |
参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
今回は、cos156°の求める方法紹介です。
$$\cos 156°=-0.913546…$$
cos 156°を10桁書いてみる
唐突ではありますが、cos 156°を10桁調べてみましょう！$$\cos 156° = -0.9135454577 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
cos156°の値を計算する
三角関数表を参照せずにcos156°の値を解く方法は大きく3つあります。
1のやり方は、定規を使うため正確な値を算出できず、答えは近似値になります。
2の方法だと、導出過程が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を紹介します。
マクローリン展開でcos156°を求める
マクローリン展開によって、下記の式で\(\cos x\)を明らかにすることができます。
$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)が分かれば\(\cos x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 156°$$
この式を計算すると、
$弧度法=2.722713…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 156°\)を求められます。
$$\cos 156° = -0.913546…$$
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