本解説では、cos 157° = -0.920505…を求める手法について明らかにしていきます。
三角関数表の中のコサイン(cos)の表に着目して、値の求め方を明らかにしていきます。
コサインの表とはこのような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| cos1° | 0.999847 | cos2° | 0.99939 |
| cos3° | 0.998629 | cos4° | 0.997564 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| cos30° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | cos45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| cos60° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | cos90° | 0 |
教科書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
本解説では、cos157°の算出方法説明です。
$$\cos 157°=-0.920505…$$
cos 157° を10桁書いてみる
最初に、cos 157°を10桁確認してみましょう！$$\cos 157° = -0.9205048535 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
cos157°の値を算出する
三角関数表を参照せずにcos157°の値を求める方法は3つあります。
1のやり方は、定規を使うため正確な値を求められず、求まる値は近似値になります。
2のやり方だと、途中の計算がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を説明します。
マクローリン展開でcos157°を求める
マクローリン展開より、下記の式で\(\cos x\)を解くことができます。
$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を代入すると\(\cos x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かればOKですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 157°$$
この式を計算すると、
$弧度法=2.740166…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 157°\)を求められます。
$$\cos 157° = -0.920505…$$
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