今回は、cos 175° = -0.996195…を三角関数表を使わずに求めるやり方について明らかにしていきます。
三角関数表の中のコサイン(cos)の表について、値の計算方法を説明していきます。
コサインの表とは下記のような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| cos1° | 0.999847 | cos2° | 0.99939 |
| cos3° | 0.998629 | cos4° | 0.997564 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| cos30° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | cos45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| cos60° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | cos90° | 0 |
参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
このページでは、cos175°の計算の仕方説明です。
$$\cos 175°=-0.996195…$$
cos 175° を10桁書いてみる
初めに、cos 175°を10桁書いてみましょう！$$\cos 175° = -0.9961946981 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
cos175°の値を求める
三角関数表を使用せずにcos175°の値を解く方法はとても複雑なものを除けば3つあります。
1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、出てくる値は近似値になります。
2の方法だと、計算過程が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を紹介します。
マクローリン展開でcos175°を求める
マクローリン展開より、下記の式で\(\cos x\)を計算することができます。
$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)によって、\(\cos x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 175°$$
この式を計算すると、
$弧度法=3.054326…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 175°\)を求められます。
$$\cos 175° = -0.996195…$$
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