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三角関数表のコサインの表におけるcos18°を解く

このページでは、cos 18° = 0.951056…を算出する手法について説明します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に焦点を絞って、値の計算方法を紹介していきます。

コサインの表とはこのような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
今回は、cos18°の算出方法紹介です。

$$\cos 18°=0.951056…$$

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cos 18° を10桁表す

早速ですが、cos 18°を10桁調べてみましょう!$$\cos 18° = 0.9510565162 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos18°の値を明らかにする

三角関数表を使わずにcos18°の値を求める手法はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を使って18°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開に値を代入して解く

1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、答えは近似値になります。

2のやり方だと、計算過程が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開でcos18°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\cos x\)を明らかにすることができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)から\(\cos x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 18°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.314159…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 18°\)を求められます。

$$\cos 18° = 0.951056…$$

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