三角関数表のコサインの表におけるcos180°の導出

それでは、cos 180° = -1.0…を三角関数表を使わずに求める処理方法について解説していきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表について、値の計算の仕方を解説していきます。

コサインの表とはこのような表のことです。

角度	値	角度	値
cos1°	0.999847	cos2°	0.99939
cos3°	0.998629	cos4°	0.997564
・・・		・・・
cos30°	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	cos45°	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°	$\displaystyle \frac{1}{2}$	cos90°	0

参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
本解説では、cos180°の算出方法解説です。

$$\cos 180°=-1.0…$$

10位までcos 180°を書いてみる

初めに、cos 180°を10桁確認してみましょう！$$\cos 180° = -1.0 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos180°の値を解く

三角関数表を使用せずにcos180°の値を計算する方法は大きく3つあります。

1のやり方は、定規を使うため正確な値を求められず、出てくる値は近似値になります。

2の手法だと、導出過程がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開でcos180°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\cos x\)を解くことができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)から\(\cos x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 180°$$

この式を計算すると、
$弧度法=3.141592…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 180°\)を求められます。

$$\cos 180° = -1.0…$$