それでは、cos 181° = -0.999848…を三角関数表を使わずに求める処理方法について解き明かしていきます。
三角関数表の中のコサイン(cos)の表に着目して、値の計算の仕方を明らかにしていきます。
コサインの表とは下のような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| cos1° | 0.999847 | cos2° | 0.99939 |
| cos3° | 0.998629 | cos4° | 0.997564 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| cos30° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | cos45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| cos60° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | cos90° | 0 |
数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
今回は、cos181°の計算方法紹介です。
$$\cos 181°=-0.999848…$$
cos 181° を10桁調べる
唐突ではありますが、cos 181°を10桁確認してみましょう！$$\cos 181° = -0.9998476952 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
cos181°の値を明らかにする
三角関数表を確認せずにcos181°の値を解く手法は大きく3つあります。
1のやり方は、定規を使うため正確な値を算出できず、求まる値は近似値になります。
2の手法だと、導出が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を説明します。
マクローリン展開でcos181°を求める
マクローリン展開によって、下記の式で\(\cos x\)を算出することができます。
$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)が分かれば\(\cos x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 181°$$
この式を計算すると、
$弧度法=3.159045…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 181°\)を求められます。
$$\cos 181° = -0.999848…$$
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