この記事では、cos 182° = -0.999391…を三角関数表を使わずに求める手法について明らかにしていきます。
三角関数表の中のコサイン(cos)の表に着目して、値の求め方を明らかにしていきます。
コサインの表とは下記のような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| cos1° | 0.999847 | cos2° | 0.99939 |
| cos3° | 0.998629 | cos4° | 0.997564 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| cos30° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | cos45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| cos60° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | cos90° | 0 |
参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
このページでは、cos182°の算出方法解説です。
$$\cos 182°=-0.999391…$$
10桁のcos 182°を確認
唐突ではありますが、cos 182°を10桁書いてみましょう！$$\cos 182° = -0.9993908271 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
cos182°の値を算出する
三角関数表を活用せずにcos182°の値を計算する手法はとても複雑なものを除けば3つあります。
1の方法は、定規を使うため正確な値を計算できず、出てくる値は近似値になります。
2のやり方だと、計算過程がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を紹介します。
マクローリン展開でcos182°を求める
マクローリン展開より、下記の式で\(\cos x\)を明らかにすることができます。
$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)が分かれば\(\cos x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かればOKですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 182°$$
この式を計算すると、
$弧度法=3.176499…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 182°\)を求められます。
$$\cos 182° = -0.999391…$$
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