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三角関数表のコサインの表におけるcos19°の導出

それでは、cos 19° = 0.945518…を計算するやり方について解き明かしていきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に焦点を絞って、値の計算の仕方を説明していきます。

コサインの表とは下記のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

教科書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
このページでは、cos19°の算出方法紹介です。

$$\cos 19°=0.945518…$$

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cos 19°を10桁調べる

まずは、cos 19°を10桁書いてみましょう!$$\cos 19° = 0.9455185755 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos19°の値を計算する

三角関数表を使わずにcos19°の値を求めるやり方は3つあります。

  1. 分度器用いて19°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を使って計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1のやり方は、定規を使うため正確な値を算出できず、出てくる値は近似値になります。

2のやり方だと、導出過程が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を説明します。

マクローリン展開でcos19°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\cos x\)を求めることができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)が分かれば\(\cos x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 19°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.331612…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 19°\)を求められます。

$$\cos 19° = 0.945518…$$

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