三角関数表のコサインの表におけるcos192°｜マクローリン展開で解く

今回は、cos 192° = -0.978148…を算出する手法について明らかにしていきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に光を当てて、値の計算方法を説明していきます。

コサインの表とはこのような表のことです。

角度	値	角度	値
cos1°	0.999847	cos2°	0.99939
cos3°	0.998629	cos4°	0.997564
・・・		・・・
cos30°	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	cos45°	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°	$\displaystyle \frac{1}{2}$	cos90°	0

教科書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
この記事では、cos192°の算出方法紹介です。

$$\cos 192°=-0.978148…$$

10桁のcos 192°を調べる

初めに、cos 192°を10桁表してみましょう！$$\cos 192° = -0.9781476008 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos192°の値を計算する

三角関数表を使用せずにcos192°の値を解く手法は3つあります。

1のやり方は、定規を使うため正確な値を計算できず、出てくる値は近似値になります。

2の手法だと、導出がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を説明します。

マクローリン展開でcos192°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\cos x\)を明らかにすることができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)によって、\(\cos x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 192°$$

この式を計算すると、
$弧度法=3.351032…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 192°\)を求められます。

$$\cos 192° = -0.978148…$$